作者： tony

2018年USAJMO 真题及答案

2018年USAJMO 真题

Day 1

Note: For any geometry problem whose statement begins with an asterisk ($*$), the first page of the solution must be a large, in-scale, clearly labeled diagram. Failure to meet this requirement will result in an automatic 1-point deduction.

Problem 1

For each positive integer $n$, find the number of $n$-digit positive integers that satisfy both of the following conditions:

$\bullet$ no two consecutive digits are equal, and

$\bullet$ the last digit is a prime.

Problem 2

Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $a+b+c=4\sqrt[3]{abc}$. Prove that\[2(ab+bc+ca)+4\min(a^2,b^2,c^2)\ge a^2+b^2+c^2.\]Solution

Problem 3

($*$) Let $ABCD$ be a quadrilateral inscribed in circle $\omega$ with $\overline{AC} \perp \overline{BD}$. Let $E$ and $F$ be the reflections of $D$ over lines $BA$ and $BC$, respectively, and let $P$ be the intersection of lines $BD$ and $EF$. Suppose that the circumcircle of $\triangle EPD$ meets $\omega$ at $D$ and $Q$, and the circumcircle of $\triangle FPD$ meets $\omega$ at $D$ and $R$. Show that $EQ = FR$.

Day 2

Note: For any geometry problem whose statement begins with an asterisk ($*$), the first page of the solution must be a large, in-scale, clearly labeled diagram. Failure to meet this requirement will result in an automatic 1-point deduction.

Problem 4

Triangle $ABC$ is inscribed in a circle of radius 2 with $\angle ABC \geq 90^\circ$, and $x$ is a real number satisfying the equation $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0$, where $a=BC,b=CA,c=AB$. Find all possible values of $x$.

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2019年USAJMO 真题及答案

2019年USAJMO 真题

Day 1

Note: For any geometry problem whose statement begins with an asterisk $(*)$, the first page of the solution must be a large, in-scale, clearly labeled diagram. Failure to meet this requirement will result in an automatic 1-point deduction.

Problem 1

There are $a+b$ bowls arranged in a row, numbered $1$ through $a+b$, where $a$ and $b$ are given positive integers. Initially, each of the first $a$ bowls contains an apple, and each of the last $b$ bowls contains a pear.

A legal move consists of moving an apple from bowl $i$ to bowl $i+1$ and a pear from bowl $j$ to bowl $j-1$, provided that the difference $i-j$ is even. We permit multiple fruits in the same bowl at the same time. The goal is to end up with the first $b$ bowls each containing a pear and the last $a$ bowls each containing an apple. Show that this is possible if and only if the product $ab$ is even.

Problem 2

Let $\mathbb Z$ be the set of all integers. Find all pairs of integers $(a,b)$ for which there exist functions $f:\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z$ and $g:\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z$ satisfying\[f(g(x))=x+a\quad\text{and}\quad g(f(x))=x+b\]for all integers $x$.

Problem 3

$(*)$ Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral satisfying $AD^2+BC^2=AB^2$. The diagonals of $ABCD$ intersect at $E$. Let $P$ be a point on side $\overline{AB}$ satisfying $\angle APD=\angle BPC$. Show that line $PE$ bisects $\overline{CD}$.

Day 2

Problem 4

$(*)$ Let $ABC$ be a triangle with $\angle ABC$ obtuse. The $A$-excircle is a circle in the exterior of $\triangle ABC$ that is tangent to side $BC$ of the triangle and tangent to the extensions of the other two sides. Let $E, F$ be the feet of the altitudes from $B$ and $C$ to lines $AC$ and $AB$, respectively. Can line $EF$ be tangent to the $A$-excircle?

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2021年USAJMO 真题及答案

2021年USAJMO 真题

Day 1

$\textbf{Note:}$ For any geometry problem whose statement begins with an asterisk $(*)$, the first page of the solution must be a large, in-scale, clearly labeled diagram. Failure to meet this requirement will result in an automatic 1-point deduction.

Problem 1

Let $\mathbb{N}$ denote the set of positive integers. Find all functions $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ such that for positive integers $a$ and $b,$\[f(a^2 + b^2) = f(a)f(b) \text{ and } f(a^2) = f(a)^2.\]

Problem 2

Rectangles $BCC_1B_2,$ $CAA_1C_2,$ and $ABB_1A_2$ are erected outside an acute triangle $ABC.$ Suppose that\[\angle BC_1C+\angle CA_1A+\angle AB_1B=180^{\circ}.\]Prove that lines $B_1C_2,$ $C_1A_2,$ and $A_1B_2$ are concurrent.

Problem 3

An equilateral triangle $\Delta$ of side length $L>0$ is given. Suppose that $n$ equilateral triangles with side length 1 and with non-overlapping interiors are drawn inside $\Delta$, such that each unit equilateral triangle has sides parallel to $\Delta$, but with opposite orientation. (An example with $n=2$ is drawn below.)[asy] draw((0,0)--(1,0)--(1/2,sqrt(3)/2)--cycle,linewidth(0.5)); filldraw((0.45,0.55)--(0.65,0.55)--(0.55,0.55-sqrt(3)/2*0.2)--cycle,gray,linewidth(0.5)); filldraw((0.54,0.3)--(0.34,0.3)--(0.44,0.3-sqrt(3)/2*0.2)--cycle,gray,linewidth(0.5)); [/asy]Prove that\[n \leq \frac{2}{3} L^{2}.\]

Day 2

Problem 4

Carina has three pins, labeled $A, B$, and $C$, respectively, located at the origin of the coordinate plane. In a move, Carina may move a pin to an adjacent lattice point at distance $1$ away. What is the least number of moves that Carina can make in order for triangle $ABC$ to have area 2021?

(A lattice point is a point $(x, y)$ in the coordinate plane where $x$ and $y$ are both integers, not necessarily positive.)

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2020年USAJMO 真题及答案

2020年USAJMO 真题

Day 1

Note: For any geometry problem whose statement begins with an asterisk $(*)$, the first page of the solution must be a large, in-scale, clearly labeled diagram. Failure to meet this requirement will result in an automatic 1-point deduction.

Problem 1

Let $n \geq 2$ be an integer. Carl has $n$ books arranged on a bookshelf. Each book has a height and a width. No two books have the same height, and no two books have the same width. Initially, the books are arranged in increasing order of height from left to right. In a move, Carl picks any two adjacent books where the left book is wider and shorter than the right book, and swaps their locations. Carl does this repeatedly until no further moves are possible. Prove that regardless of how Carl makes his moves, he must stop after a finite number of moves, and when he does stop, the books are sorted in increasing order of width from left to right.

Problem 2

Let $\omega$ be the incircle of a fixed equilateral triangle $ABC$. Let $\ell$ be a variable line that is tangent to $\omega$ and meets the interior of segments $BC$ and $CA$ at points $P$ and $Q$, respectively. A point $R$ is chosen such that $PR = PA$ and $QR = QB$. Find all possible locations of the point $R$, over all choices of $\ell$.

Problem 3

An empty $2020 \times 2020 \times 2020$ cube is given, and a $2020 \times 2020$ grid of square unit cells is drawn on each of its six faces. A beam is a $1 \times 1 \times 2020$ rectangular prism. Several beams are placed inside the cube subject to the following conditions:

The two $1 \times 1$ faces of each beam coincide with unit cells lying on opposite faces of the cube. (Hence, there are $3 \cdot {2020}^2$ possible positions for a beam.)

No two beams have intersecting interiors.

The interiors of each of the four $1 \times 2020$ faces of each beam touch either a face of the cube or the interior of the face of another beam.

What is the smallest positive number of beams that can be placed to satisfy these conditions?

Day 2

Problem 4

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral inscribed in a circle and satisfying $DA < AB = BC < CD$. Points $E$ and $F$ are chosen on sides $CD$ and $AB$ such that $BE \perp AC$ and $EF \parallel BC$. Prove that $FB = FD$.

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2022年USAJMO 真题及答案

2022年USAJMO 真题

Day 1

$\textbf{Note:}$ For any geometry problem whose statement begins with an asterisk $(*)$, the first page of the solution must be a large, in-scale, clearly labeled diagram. Failure to meet this requirement will result in an automatic 1-point deduction.

Problem 1

For which positive integers $m$ does there exist an infinite arithmetic sequence of integers $a_1,a_2,\cdots$ and an infinite geometric sequence of integers $g_1,g_2,\cdots$ satisfying the following properties?

$\bullet$ $a_n-g_n$ is divisible by $m$ for all integers $n>1$;

$\bullet$ $a_2-a_1$ is not divisible by $m$.

Problem 2

Let $a$ and $b$ be positive integers. The cells of an $(a + b + 1)\times (a + b + 1)$ grid are colored amber and bronze such that there are at least $a^2+ab-b$ amber cells and at least $b^2+ab-a$ bronze cells. Prove that it is possible to choose $a$ amber cells and $b$ bronze cells such that no two of the $a+b$ chosen cells lie in the same row or column.

Problem 3

Let $b\geq2$ and $w\geq2$ be fixed integers, and $n=b+w$. Given are $2b$ identical black rods and $2w$ identical white rods, each of side length $1$.

We assemble a regular $2n$-gon using these rods so that parallel sides are the same color. Then, a convex $2b$-gon $B$ is formed by translating the black rods, and a convex $2w$-gon $W$ is formed by translating the white rods. An example of one way of doing the assembly when $b=3$ and $w=2$ is shown below, as well as the resulting polygons $B$ and $W$.

[asy] size(10cm); real w = 2*Sin(18); real h = 0.10 * w; real d = 0.33 * h; picture wht; picture blk; draw(wht, (0,0)--(w,0)--(w+d,h)--(-d,h)--cycle); fill(blk, (0,0)--(w,0)--(w+d,h)--(-d,h)--cycle, black); // draw(unitcircle, blue+dotted); // Original polygon add(shift(dir(108))*blk); add(shift(dir(72))*rotate(324)*blk); add(shift(dir(36))*rotate(288)*wht); add(shift(dir(0))*rotate(252)*blk); add(shift(dir(324))*rotate(216)*wht); add(shift(dir(288))*rotate(180)*blk); add(shift(dir(252))*rotate(144)*blk); add(shift(dir(216))*rotate(108)*wht); add(shift(dir(180))*rotate(72)*blk); add(shift(dir(144))*rotate(36)*wht); // White shifted real Wk = 1.2; pair W1 = (1.8,0.1); pair W2 = W1 + w*dir(36); pair W3 = W2 + w*dir(108); pair W4 = W3 + w*dir(216); path Wgon = W1--W2--W3--W4--cycle; draw(Wgon); pair WO = (W1+W3)/2; transform Wt = shift(WO)*scale(Wk)*shift(-WO); draw(Wt * Wgon); label("$W$", WO); /* draw(W1--Wt*W1); draw(W2--Wt*W2); draw(W3--Wt*W3); draw(W4--Wt*W4); */ // Black shifted real Bk = 1.10; pair B1 = (1.5,-0.1); pair B2 = B1 + w*dir(0); pair B3 = B2 + w*dir(324); pair B4 = B3 + w*dir(252); pair B5 = B4 + w*dir(180); pair B6 = B5 + w*dir(144); path Bgon = B1--B2--B3--B4--B5--B6--cycle; pair BO = (B1+B4)/2; transform Bt = shift(BO)*scale(Bk)*shift(-BO); fill(Bt * Bgon, black); fill(Bgon, white); label("$B$", BO); [/asy]

Prove that the difference of the areas of $B$ and $W$ depends only on the numbers $b$ and $w$, and not on how the $2n$-gon was assembled.

Day 2

Problem 4

$(*)$ Let $ABCD$ be a rhombus, and let $K$ and $L$ be points such that $K$ lies inside the rhombus, $L$ lies outside the rhombus, and $KA=KB=LC=LD$. Prove that there exist points $X$ and $Y$ on lines $AC$ and $BD$ such that $KXLY$ is also a rhombus.

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藤校生人手必备！9-12年级如何备考AMC12数学竞赛？

AMC12数学竞赛则更被称为数学界的含金量，它是检验数学水平的专业赛事，也是升入藤校的敲门砖。AMC12数学竞赛的成绩在国际学校申请留学时具有重要的依据。许多世界知名大学，如麻省理工学院、斯坦福大学等，每年都会获取AMC竞赛的参赛名单和成绩。布朗大学、卡内基梅隆大学、多伦多大学等世界名校也将AMC成绩作为学生申请入学时的重要参考因素之一。

AMC12美国数学竞赛规则

参赛资格：12年级或以下，年龄在19.5岁以下。

考试形式：75分钟，25个单项选择题题，每道选择题都有五个选项。

得分标准：每道题答对得6分，不答得1.5分，答错得0分，满分为150分。

备考计划

7-8年级准备冲刺90分：

- 学完所有考点内容：确保在考试前学完所有考点内容，包括代数、几何、计数和数论等。这样可以在考试中对所有题目有一定的了解和掌握。

- 前15题拿满分：前15题通常是较为简单的题目，要努力争取拿满分。这可以为你在竞赛中积累更多的分数，并增加晋级AIME的机会。

9-10年级备考美高/国际学校：

- 冲刺阶段多刷题：在备考阶段，要通过刷题来提高解题能力和熟悉题型。可以选择刷AMC10/12历年真题和模拟题，重点关注难度较高的题目。同时，要注意分析解题思路和方法，找出自己的薄弱点，并进行针对性的复习和提高。

- 冲刺100分：在备考过程中，要努力提高分数，争取达到满分。这需要对基础知识有深入的理解和掌握，并能够熟练运用解题技巧和策略。

11-12年级预备申请本科院校：

- 系统学习AMC10/12答题技巧：在备考过程中，要系统学习和掌握AMC10/12的解题技巧和策略。这包括分析题目、找到关键信息、尝试不同的解题方法等。通过熟练掌握解题技巧，可以在竞赛中更高效地解决问题。

- 拿下压轴难题：在备考的最后阶段，要特别关注压轴难题。这些题目通常较为复杂，但也是可以获得高分的机会。通过针对性的练习和复习，努力攻克这些难题，争取在竞赛中取得理想成绩。

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AMC8竞赛考试拿奖策略！附AMC8竞赛线上考试主要事项

近年来，AMC竞赛已成为中小学升学过程中的重要测评活动之一。越来越多的家长意识到，参与AMC竞赛不仅可以培养孩子的逻辑思维和解决问题的能力，还可以为孩子未来的学业发展打下坚实的基础。

AMC8是专为初中一年级和初中二年级的学生设计的数学测验，参加AMC8不仅可以锻炼学生的数学思维，还能够获得宝贵的数学经验。

AMC8竞赛线上考试主要事项

1、考前30分钟登录线上考试系统，完成考生身份核验，考前10分钟开启电脑端摄像头及手机端监考摄像头，做好考试准备；考试开始15分钟后，未参考的考生，不得再登录考试系统参加考试；

2、考试期间，请在独立、安静考试环境中完成考试，全程安静答题，不允许说话；

3、实时监控会随机抓拍，并跟数据库内的照片比对，如比对不成功将会被强制交卷，所以考试过程中一定要保证画面清晰，并且保证人脸在摄像头范围内。

4、考前确保网络状况良好，如果考试途中有断电断网的情况出现，不要慌张，马上恢复电力网络，重新登录即可继续答题。

5、本次考试不允许提前交卷。交卷过程中如卡在提交界面，进度条不走或未弹出交卷成功字样，静待10秒钟后关闭页面即可，系统会帮助您自动交卷。

AMC8竞赛考试拿奖策略：

答题冲遇到难度大的题目时，可以选择果断放弃先答后面的题目。如果时间充足，可以回来再做这些题目。

前10道题按照正常顺序做。从第10题附近开始，如果题目变得复杂，可以考虑转变答题策略。

- 均衡型：如果对竞赛的知识都非常熟悉，没有特别擅长的点，可以按照顺序答题，控制好每道题的答题时间。

- 自动回避型：如果有不擅长的知识点，可以先跳过这类题目，等完成其他题目后，如果还有时间再回过头来做这类题目。

- 擅长优先型：如果有明显的擅长点，可以根据自己在不同模块的水平，从高到低依次解答剩余题目。例如，如果擅长几何题目，可以先做几何题。

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AIME竞赛时间线公布！AIME考前必看冲刺建议！

AIME竞赛是介于AMC10/12竞赛和USAMO竞赛之间的一场数学竞赛。每年11月份，AMC10/12竞赛的晋级学生会收到邀请参加AIME竞赛，并在次年2月份进行比赛。

2024年AIME竞赛依旧是2月正式开赛，具体时间安排如下。AIME竞赛分为AIME I和AIME II，两场竞赛难度相同，但试题不同，晋级的同学可以参加AIME I或AIME II，但不能同时参加。任何考生如果同时参加将被取消考试资格。

AIME竞赛时间线

AIME Ⅰ：2024年2月1日

AIME Ⅱ：2024年2月7日

报名：无需报名，受邀参赛

竞赛奖项：不设置奖项

AIME考前冲刺建议

复习核心知识点：

AIME竞赛的题目相对复杂，但仍然离不开高中数学的核心知识点。在备考过程中，要重点复习和巩固算术、代数、几何、计数、数论、概率等知识点。确保对这些知识点有深入的理解和掌握，并能够熟练运用于解题过程中。

解题技巧和策略：

AIME竞赛注重解题能力和创新思维。在备考过程中，要培养好的解题技巧和策略。这包括分析题目、找到关键信息、尝试不同的解题方法、进行逻辑推理等。通过多做题目和模拟考试，熟悉各种题型和解题思路，提高解题的速度和准确性。

刷AIME样题和历年真题：

除了刷AMC10/12的题目，还要刷一些AIME样题和历年真题。这样可以更好地了解AIME的题型和难度，并熟悉AIME的考察方式。通过分析解题过程和答案解析，找出解题的关键点和解题思路，提高解题能力和应对复杂题目的能力。

时间管理和模拟考试：

AIME竞赛的时间相对紧张，要在有限的时间内完成更多的题目。在备考过程中，要注意时间管理，掌握解题的速度和节奏。可以进行模拟考试，模拟竞赛的真实环境和时间限制，提前适应竞赛的压力和节奏。

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备考AMC8必看！AMC8数学竞赛五个拿奖方案！参加AMC8数学竞赛有什么用处？

AMC8数学竞赛作为低龄数学竞赛的翘楚，一直以来都受到了国内外家长们的广泛关注。对于中小学生来说，参与AMC8数学竞赛不仅是一种锻炼数学能力的机会，更是展现自己才华和潜力的平台。

AMC8数学竞赛的五个拿奖方案：

平时做题成绩22分以上，冲刺满分：

- 平时做题成绩达到22分以上，可以拿到DH奖。

- 在考前一个月，重点针对重难点进行训练，稳住22分的基础上，冲刺满分。

平时做题成绩17+分以上，冲刺全球前1%：

- 平时做题成绩达到17+分以上，可以有机会拿到全球前1%的成绩。

- 在考前一个月，重点针对后10道难题进行专门训练，突破难点，提高分数。

平时做题成绩14分左右，冲刺全球前5%：

- 平时做题成绩在14分左右，可以有机会拿到全球前5%的成绩。

- 不追求难题，重点训练基础题和提分题。

- 如果有余力，可以尝试解决一些难题。

六年级以下做题成绩12分左右，冲刺低龄成就奖：

- 六年级以下学生，如果做题成绩在12分左右，可以有机会拿到低龄成就奖。

- 在考前一个月，重点练习15道题，确保都能答对，然后根据情况抓分。

初次了解，2024年不着急考试：

- 如果是初次了解AMC8竞赛，且时间来不及准备2024年的考试，可以备考2025年的考试。

- 建议参加全程班学习，包括AMC8全部基础知识的讲解、测评、训练等环节。

- 在备考过程中，要巩固基础，系统提升，并精心备考一年，冲刺目标奖项。

参加AMC8数学竞赛有什么用处？

助力小升初和中学升学：AMC8竞赛是一项含金量高的国际数学比赛。获得优秀的成绩和奖项可以在私校申请和中学择校过程中提供帮助。

拓宽数学思维：许多学生在学习数学时缺乏体系性，缺乏数学思维和逻辑能力，也缺乏灵活变通的能力。备考AMC8竞赛可以帮助学生灵活运用已有的知识点，在老师的指导下找到巧妙解题的方法，锻炼数学思维，同时激发对数学的兴趣。

长期提高数学能力：作为学生参加数学竞赛的入门竞赛，AMC8的考试难度相对较低。通过备考AMC8竞赛，学生可以打下参加更高阶数学竞赛的基础，如AMC10、AMC12等。

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低年级备考AMC8难点在哪？AMC8中英双语出题 英语完全不用准备？

AMC系列竞赛为学生们提供了一个有效的评估和展示自己数学能力的平台，对于培养数学兴趣和才华有着积极作用。

低年级备考AMC8难点在哪？

真题训练欠缺：

AMC8竞赛的题目涵盖小学到初中的内容，对学生的基础知识和解题能力都有一定要求。普通基础的学生想要在竞赛中取得满意的成绩，需要提前规划并打好基础。同时，在考前的备考冲刺阶段，有针对性地巩固知识点、学习解题技巧是非常重要的。刷真题也是必不可少的，通过重复刷题可以帮助学生熟悉考试的题型和难度，并加深对各个知识点的理解和掌握程度。

缺乏考点归纳能力：

AMC8竞赛没有官方的大纲，只能通过历年真题和推荐教材进行整合归纳。因此，学生需要具备总结和归纳考点的能力。可以结合历年真题和官方教材，整理出适合8年级及以下学生的AMC8复习大纲。AMC8主要围绕代数、几何、数论和组合等方面展开，学生需要重点关注这些内容，并进行系统的学习和练习。

AMC8中英双语出题，英语完全不用准备？

对于中国区的学生来说，AMC8竞赛是中英文双语试卷，英语部分是直译的。虽然可以直接依赖中文题目进行理解，但掌握足够的英语词汇量和专业术语对于提高阅读理解速度和准确性仍然是有帮助的。

如果学生能够掌握足够的英语词汇量和专业术语，他们可以更快地理解英文题目，减少理解偏差的可能性，并更有效地利用答题时间。此外，对于一些涉及英语表达的问题，学生可以更准确地理解题目要求，提供正确的答案。

因此，尽管AMC8竞赛是中英文双语试卷，但对于中国区的学生来说，掌握足够的英语词汇量和专业术语仍然是有益的，可以提高阅读理解速度和准确性，节省更多答题时间。学生可以通过积极学习英语词汇和专业术语，并进行相关的练习和模拟考试来提升自己的英语能力。

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