AMC12考多少分能晋级AIME?备考AIME竞赛有哪些建议?

寒假即将结束,AMC12数学竞赛备考也进入了黄金备考阶段!AMC12竞赛考察了高中阶段所有数学内容,所以考生们需要对基础知识点熟练掌握,并依据AMC12竞赛历年真题进行拔高备考。

根据2023年的AMC12获奖分数线分析:AMC12晋级AIME最低在85.5分、全球5%(Honor Roll )奖项分数最低在112.5分、全球1%奖项分数最低(Honor Roll of Distinction)在136.5分。

结合AMC考试的得分规则(答对1题得6分,未答得1.5分,答错不扣分)可知参加AMC考试,参赛者在AMC竞赛考试中如果能答对14道题(84分),剩余11道题(16.5分)全部空白不写,就可以得100.5分,如果大家再多做一道题,后面10道题即使一道不做,总分也就是105分,按照2023年的晋级数据,是可以入围晋级赛AIME。

备考AIME竞赛的一些建议:

复习基础知识:回顾并加强你在代数、几何、数论、概率等高中数学领域的基础知识。确保你对基本概念和解题方法有清晰的理解。可以通过复习教科书、笔记和做相关练习来巩固基础知识。

做过往真题:AIME的题目风格和难度与AMC系列有所不同。尝试做一些过去的AIME真题,了解考试的题型和难度,熟悉解题思路。这有助于你在考试中更加游刃有余。可以从简单的题目开始,逐渐挑战更难的题目。

理解解题方法:不仅仅要会做题,还要理解题目背后的解题思路。学习一些典型问题的解法,提高问题解决能力。可以阅读相关的解题技巧和策略,学习其他同学或专业教师的解题思路。尝试多种解题方法,培养灵活性和创造力。

刷题和反复练习:刷题是提高解题能力的关键。除了做过往的AIME真题,还可以尝试其他数学竞赛的题目,如美国数学奥林匹克(USAMO)等。通过反复练习,你可以熟悉各种题型,掌握解题技巧,并提高解题速度和准确性。

竞赛真题

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AMC8竞赛高频知识点汇总!AMC8竞赛拿分技巧点拨!

在国内,AMC8竞赛得到了越来越多家庭的认可,甚至填补了小学奥数的空白。参加AMC8竞赛不仅能够帮助学生更轻松地被上海“三公”认定,还是进入英才班等培优班级的重要砝码。

AMC8竞赛规则

- AMC8竞赛是一场单选题考试,共有25道题目,每题有5个选项。

- 考试时间为40分钟。

- 每题正确得1分,不答或答错不扣分。总分为25分。

- 试卷为中英双语。

- 奖项分为满分奖、前1%、前5%和荣誉奖。

AMC8竞赛高频知识点

Algebra (代数高频考点):比与比例,分数,百分比;方程,包括应用题;数列;

Geometry(几何高频考点):三角形相似性,勾股定理;圆形及其位置关系;四边形及其几何性质;

Number Theorem(数论高频考点):质数,包括质因数分解;整数,数位问题;整除性

Combinatorics(组合高频考点):计数原理,排列与组合;概率,核心是计算;

AMC8竞赛拿分技巧

快速阅读题目:在AMC8竞赛中,时间是非常宝贵的,因此在阅读题目时要快速抓住题中和解题有关的核心词汇,对于不认识的词,可以略过,只要不影响解题即可。

做好前15题:AMC8竞赛的题目按照从难到易的顺序排布,因此要保证在前15道题中不失分,确保拿满15分,这样才有希望冲奖。

熟练做选择题:在AMC8竞赛中,有很多选择题,熟练掌握解题技巧和答题方法对于拿分非常重要。熟练掌握解答选择题的技巧可以帮助学生在有限的时间内更准确地完成题目。

熟悉常见题型:AMC8竞赛常见的题型包括几何、代数、概率等,熟悉并掌握这些常见题型的解题方法和技巧可以帮助学生更快地解答题目,提高做题效率。

划重点:在做题过程中,遇到复杂题目或者不确定的题目,可以先划重点,留出时间后再回头仔细思考和解答,确保不因为一道难题影响整体的答题进度。

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AMC 10数学竞赛考什么?如何为2024年AMC 10数学竞赛做准备?

美国数学家协会举办的AMC竞赛,是一项面向全球学生举行的国际数学竞赛。AMC系列竞赛分为AMC8、AMC10和AMC12三个等级,分别适合不同等级的学生参加。一大优势是AMC竞赛采用中英双语进行比赛,对中国学生来说非常友好。其中,AMC10竞赛是一项面向十年级以下学生参加的数学竞赛。

AMC 10考试内容

AMC10的知识考察范围同样涵盖代数、几何、数论、组合四大模块,难度对标初高中数学联赛。

考试内容为除去微积分以外的初高中知识,其中代数的主要考察内容有代数计算、多项式、方程等;几何主要考察三角形与四边形;数论包括整除、指数幂、分解质因数等;组合覆盖乘法原理、排列数与组合数、插空法等知识点。

从整体来看,AMC10的知识考核面会越来越广,难度也会越来越大,对备考学生来说是一个不小的挑战,建议合理分配时间,采用针对性的强化训练。

AMC10考试准备工作

熟悉考察内容,根据考点内容进行专项练习:

- AMC10考试内容涵盖了代数、几何、概率、数论等数学知识点,因此需要对这些知识点进行系统的复习和专项练习。建议根据考点内容进行有针对性的专项练习,对于自己掌握不好的知识点要多加练习,确保全面掌握考试所需的知识。

熟悉出题模式,根据历年真题进行总结,整合AMC10的出题方法和答题思路:

- 通过研究历年的真题,可以了解AMC10的出题模式、题型分布和解题思路,有助于熟悉考试的特点和要求。可以总结出常见的解题技巧和答题思路,为备考提供指导性的信息。

巧用历年真题,对自己所学知识查漏补缺和真题演练:

- 历年真题是备考的重要资料,可以通过做历年真题来查漏补缺,发现自己的薄弱环节,并进行有针对性的复习。同时,通过大量的真题演练可以提高解题能力和应试水平,熟悉考试的题型和难度。

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参加AMC8数学竞赛可以收获什么?AMC8备赛注意事项了解一下!

参加AMC8竞赛不仅可以获得荣誉和奖项,更重要的是在学习和成长的过程中获得数学兴趣的培养、解决问题能力的提高以及与全球数学爱好者交流的机会。这些收获将对学生的学习和未来发展产生积极的影响。

参加AMC8竞赛,学生们可以获得哪些收获?

01 展示才能和成长

参加竞赛不仅是为了获得荣誉和奖项,更重要的是学习和成长的过程。AMC8竞赛为学生们提供了一个展示自己数学才能和解决问题能力的舞台。在竞赛过程中,学生们将面对各种复杂的数学问题,这需要他们灵活运用已掌握的知识和技巧,以及发挥自己的创造力和逻辑思维能力。

02 培养兴趣和求知欲

通过参加AMC8竞赛,学生们可以培养自己的数学兴趣和求知欲,提高解决实际问题的能力。竞赛不仅考察了学生的数学知识,更注重他们的思考能力和解题方法。在解题过程中,学生们需要分析问题、提出解决方案,并给出详细的步骤和推理过程。这种思维训练将对学生的逻辑思维、分析能力和问题解决能力产生积极的影响。

03 拓展数学知识和交流机会

通过参加竞赛,学生们可以拓展数学知识的广度和深度,锻炼解题的能力和方法,培养自己的创造力和逻辑思维。同时,竞赛也为学生们提供了与全球优秀数学爱好者交流的机会,促进学术交流与合作。

AMC8数学竞赛备赛注意事项

练习真题:在备考过程中,多做AMC8的历年真题和模拟题。通过练习真题,可以熟悉考试的题型和难度,提高解题的能力和速度。

理解解题思路:在做题的过程中,不仅要求解答案,还要理解解题的思路和方法。对于解答不清楚的题目,可以向老师或者同学请教,加深对解题方法的理解。

注意排版和书写:在答题卡上,注意排版和书写的整洁和清晰。确保答案的可读性,避免因书写不清晰而导致的失分。

自我评估:在备考和参加考试之后,对自己的表现进行客观的评估。分析做题的过程中出现的问题和错误,为下一次备考做准备。

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名校敲门砖!如何规划AMC10备考?

AMC数学竞赛是由美国数学协会主办的全球性比赛,每年有超过6000所学校的30万名同学参与其中。作为全球具有影响力的青少年数学测评活动之一,它对于初高中学生来说尤为重要。优异的竞赛成绩往往能够受到名校的青睐。

随着2024年的到来,许多家长和学生已经开始着手准备参加AMC10数学竞赛,那么AMC10数学竞赛应该如何规划呢?

AMC10竞赛规则

参赛年级:高一年级及以下(小于17.5岁)

考试时间:2024年11月

比赛形式:线上考试,个人笔试

试卷语言:中英双语

试卷题型:25道选择题

评分标准:答对得6分,不答得1.5分,答错不扣分,满分150分。

考试内容:AMC10通常涵盖初三和高一数学课内容,包括初等代数、基础几何学(勾股定理、面积体积公式等)、初等数论和概率问题,不包括三角函数、高等代数和高等几何学知识。

如何规划AMC10备考?

制定学习计划:根据考试时间规划图,合理安排备考时间,并制定详细的学习计划。将备考时间分为不同阶段,例如补充知识点、刷题备考和冲刺备考阶段,以便有针对性地进行学习和复习。

基础知识的复习:AMC10考试涉及的数学知识点较为广泛,建议从基础知识开始复习,包括代数、几何、数论等。确保对基本概念和公式的理解和掌握。

刷题练习:刷题是提高解题能力的关键。选择AMC10的过去真题和模拟试卷进行练习,熟悉考试的题型和难度。通过刷题,了解常见的解题思路和技巧,并提高解题速度和准确度。

错题总结:在刷题过程中,注意记录并总结自己的错误题目。分析错误的原因,找出自己的薄弱环节,并针对性地进行学习和强化练习。

参加竞赛训练营或辅导班:参加AMC10的竞赛训练营或辅导班可以获得更系统和专业的指导。与其他优秀的学生共同学习和交流,激发学习兴趣,并获得更高水平的指导。

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小升初择校的强有力加分项!2025年不同基础考生如何备考AMC8?

AMC8竞赛是一个世界知名的数学科测试,由美国数学协会(MAA)组织举办。每年,超过30万名学生在北美地区报名参加这项竞赛。作为难度较低的竞赛,它主要面向八年级以下的学生,甚至有些小学四到六年级的优秀学生也会参与其中。每年一次的考试时间定在1月份。

AMC8比赛规则介绍

参赛年级:AMC8适合8年级及以下学生参加,考试当天年龄不能超过14.5周岁。

考试题型:25道选择题,5选一

比赛语言:中英双语试卷

计分方式:AMC8满分是25分,答对一题一分,答错不倒扣

考试地点:线上机考

2025年不同基础考生如何备考AMC8?

第一类:没有接触过AMC系列竞赛的学生

- 对于这类学生,建议提前了解AMC8竞赛的考试形式和内容,可以通过阅读相关资料、参加线上讲座或培训班等方式进行初步了解。

- 在备考期间,可以使用AMC8的官方指南和过去的真题进行系统学习。重点掌握竞赛所涉及的数学知识点和解题技巧。

- 制定一个合理的学习计划,合理安排学习时间,并保持持续的学习和练习的态度。可以利用寒暑假等假期时间进行集中复习和冲刺。

第二类:参加AMC8考试并获得15分左右的成绩

- 对于这类学生,可以先回顾自己在竞赛中的弱点和错误,分析原因并进行针对性的提高。

- 通过参加一些AMC8竞赛的模拟考试,熟悉竞赛的时间限制和题型,提高解题速度和准确度。

- 针对竞赛中的薄弱知识点进行有针对性的学习和练习,可以寻找相关的教材、习题集或参加辅导班进行系统学习。

第三类:参加AMC8考试后成绩在18分以上想冲高分

- 对于这类学生,可以通过参加更高级别的竞赛,如AMC10等来进一步挑战自己,提高数学水平。

- 参加一些竞赛训练营或培训班,与其他优秀的学生共同学习和交流,激发学习兴趣,并获得更高水平的指导。

- 阅读更多数学相关的书籍和资料,扩大数学知识的广度和深度。

AMC8历年真题

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无论是哪一类学生,备考AMC8竞赛都需要制定一个合理的学习计划,保持持续的学习和练习的态度,注重理解和掌握数学的基础知识和解题技巧。同时,参加模拟考试和与其他竞赛选手的交流也是提高竞赛成绩的有效途径。

参加AMC8竞赛对体制内学生有什么意义?AMC8竞赛个人有哪些奖项?

近年来,小升初择校问题备受关注。无论是选择体制内的升学方式,比如上海三公制度,还是选择就读国际学校,都有其各自的优势与特点。特别是对于国际学校而言,参加一些知名的数学竞赛活动,如AMC8竞赛,可以为学生的简历增添亮点。

AMC8竞赛奖项设置(个人)

满分奖(Perfect Scores):获得满分25分的同学

全球卓越奖DHR(Distinguished Honor Roll):全球排名前1%的同学

全球优秀奖HR(Honor Roll):全球排名前5%的同学

全球荣誉奖AR(Achievement Roll):六年级及以下且获得15分以上的同学

注:AMC8除了个人奖项之外,还有团队奖项,我们没有在这里列出,感兴趣的家长或者同学可以找我详细咨询AMC8竞赛奖项设置。

AMC8数学竞赛分数线

从AMC8数学竞赛近10年的分数线来看,整体还是比较平稳的。

除了2018年特殊,其他年份差别不大,尤其是近3年分数线:

前5%分数线集中在17-19分之间。

前1%的获奖分数线集中在20-22之间。

参加AMC8竞赛对体制内学生有什么意义?

提高数学素养:AMC8竞赛的考试内容涵盖了中学数学的各个方面,参加竞赛可以帮助学生深入理解和应用数学知识,提高数学素养和解决问题的能力。竞赛的难度逐步增加,能够锻炼学生的逻辑思维和创新思维,提高综合素质。

增加竞争意识:AMC8竞赛是一个有竞争性的数学竞赛,参加竞赛可以帮助学生建立竞争意识和自信心。通过自身的努力和智慧,学生可以取得好成绩,这有助于培养学生的竞争意识,并为未来的社会竞争做好准备。

提高申请美国名校竞争力:AMC8竞赛是美国顶尖名校招生时非常重视的一个成绩项目。取得好成绩可以为学生的申请提供重要的加分项,提高申请美国名校的竞争力。参加竞赛还能让学生更深入地了解美国的教育体系,为未来的留学生活做好充分的准备。

培养兴趣爱好:AMC8竞赛是一个有趣且具有挑战性的数学竞赛,参加竞赛可以激发学生对数学的兴趣和热爱。竞赛中的有趣问题和知识可以激发学生进一步学习和探索数学的兴趣和热情,培养良好的学习习惯和兴趣爱好。

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2024AIME I 落幕!AIME I 真题解析免费领取!附AIME难度&考点分析

AIMEⅠ考试已落下帷幕,不少同学反应今年的题还是很难!今天给大家整理了2024年AIME 考试的真题+解析,针对2024年AIME数学竞赛,做了详细考情分析。

整体难度分析

今年AIME I的难度相较去年有所降低,整体没有特别难的问题,但个别题目的运算量或讨论的过程还是有相当的强度和密度,这也是AIME这个比赛一贯以来的特征。

考点分析

从题目考点的分布上,这次AIME数论、代数、几何、组合四个板块的题目数量分别为2道,5.5道,4.5道,和3道,基本和历史上四个板块大致占总题量的比例相当,代数和几何仍然是AMC、AIME这类Pre-MO级别比赛的重点,而数论和组合则更具有数竞的专业性。

代数部分:

这次的代数题目分别为Q1,Q2,Q7,Q9,Q12,Q15,在各个难度档次中分布非常均匀。

- Q1是最简单的行程计算问题,放在amc8中也无任何不妥。Q2是基础的对数运算,在过程中略注意些技巧可以一定程度简化运算,大致也就是amc12中Q14,Q15的难度水平。

- Q7是道复数计算背景的极值问题,三角换元或者柯西不等式一步可以得到答案,基本对应AMC12中Q16,Q17的难度。

- Q9出现了在AMC和AIME中比较少出现的双曲线,看起来是个解析几何背景的极值问题但实际考察的只是对双曲线渐近线最基本的概念和性质的了解,难度大致也对应AMC12的Q17,Q18。

- Q12考察了绝对值函数、三角函数、复合函数以及反函数的概念和作图,难度整体对标AMC12的Q22,Q23。

- 最后压轴题Q15是一个标准的多元约束条件下的极值问题,整体难度也不高,大致对应常规难度下AMC12的Q24,Q25。

几何部分:

这次的几何题目分别为Q5,Q8,Q9,Q10,Q14

- Q5考察了四点共圆四边形(cyclic quadrilateral)的性质的掌握,难度对应AMC10,12的Q16,Q17左右。

- Q8是个给定三角形内一条边上相同大小内切圆放置的问题,难度对应AMC10,12的Q17,Q18。

- Q10考察了三角形的外接圆、切线与弦切角、简单圆幂定理以及三角形的求解,难度对应AMC10,12的Q18,Q19。

- 最后Q14是一道四面体内切球半径求解的立体几何问题,难度对应AMC10,12常规Q24的水平。

组合部分:

这次的组合题目分别为Q4,Q6,Q11。

- Q4根据重合中奖序列数字的个数进行分类讨论所求概率的表达式可直接写出,难度大致跟AMC12的Q15,Q16相当。

- Q6是经典的网格路径问题,难度大致对应AMC10,12的Q18,Q19。

- Q11是个圆周(或正多边形)定点染色问题,难度较低,对应AMC10,12的Q18,Q19。

数论部分:

数论部分本次考察题目较少,只有Q3和Q13,但质量都较高

- Q3是一道有一丝MO数论组合杂题风格的游戏必胜策略类题目

- Q13是本次比赛难度相对最高的一道,涉及到相当的运算量和准确性,考察了欧拉定理和整数的阶的概念和性质。

总体来说,今年的AIME I难度相对较低,题目分布比较均匀,涵盖了代数、几何、组合和数论等多个数学领域,考察了不同难度级别的知识和技巧。对于熟悉基本数学概念和运算的学生来说,整体上应该是可以应对的。

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2024年AIME I 真题及答案

2024年AIME I 真题:

Problem 1

Every morning, Aya does a $9$ kilometer walk, and then finishes at the coffee shop. One day, she walks at $s$ kilometers per hour, and the walk takes $4$ hours, including $t$ minutes at the coffee shop. Another morning, she walks at $s+2$ kilometers per hour, and the walk takes $2$ hours and $24$ minutes, including $t$ minutes at the coffee shop. This morning, if she walks at $s+\frac12$ kilometers per hour, how many minutes will the walk take, including the $t$ minutes at the coffee shop?

Problem 2

Real numbers $x$ and $y$ with $x,y>1$ satisfy $\log_x(y^x)=\log_y(x^{4y})=10.$ What is the value of $xy$?

Problem 3

Alice and Bob play the following game. A stack of $n$ tokens lies before them. The players take turns with Alice going first. On each turn, the player removes $1$ token or $4$ tokens from the stack. The player who removes the last token wins. Find the number of positive integers $n$ less than or equal to $2024$ such that there is a strategy that guarantees that Bob wins, regardless of Alice’s moves.

Problem 4

Jen enters a lottery by picking $4$ distinct numbers from $S=\{1,2,3,\cdots,9,10\}.$ $4$ numbers are randomly chosen from $S.$ She wins a prize if at least two of her numbers were $2$ of the randomly chosen numbers, and wins the grand prize if all four of her numbers were the randomly chosen numbers. The probability of her winning the grand prize given that she won a prize is $\tfrac{m}{n}$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n$.

Problem 5

Rectangles $ABCD$ and $EFGH$ are drawn such that $D,E,C,F$ are collinear. Also, $A,D,H,G$ all lie on a circle. If $BC=16,$ $AB=107,$ $FG=17,$ and $EF=184,$ what is the length of $CE$?

[asy] import graph; unitsize(0.1cm);  pair A = (0,0);pair B = (70,0);pair C = (70,16);pair D = (0,16);pair E = (3,16);pair F = (90,16);pair G = (90,33);pair H = (3,33); dot(A^^B^^C^^D^^E^^F^^G^^H); label("$A$", A, S);label("$B$", B, S);label("$C$", C, N);label("$D$", D, N);label("$E$", E, S);label("$F$", F, S);label("$G$", G, N);label("$H$", H, N); draw(E--D--A--B--C--E--H--G--F--C); [/asy]

Problem 6

Consider the paths of length $16$ that follow the lines from the lower left corner to the upper right corner on an $8\times 8$ grid. Find the number of such paths that change direction exactly four times, as in the examples shown below.

[asy] size(7.5cm); usepackage("tikz");label("\begin{tikzpicture}[scale=.4]\draw(0,0)grid(8,8);\draw[line width=2,red](0,0)--(2,0)--(2,3)--(5,3)--(5,8)--(8,8);\end{tikzpicture}",origin); label("\begin{tikzpicture}[scale=.4]\draw(0,0)grid(8,8);\draw[line width=2,red](0,0)--(0,3)--(3,3)--(3,5)--(8,5)--(8,8);\end{tikzpicture}",E); [/asy]

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2024年AMC8 真题及答案

2024年AMC 8 真题:

Problem 1

What is the ones digit of\[222,222-22,222-2,222-222-22-2?\]$\textbf{(A) } 0\qquad\textbf{(B) } 2\qquad\textbf{(C) } 4\qquad\textbf{(D) } 6\qquad\textbf{(E) } 8$

Problem 2

What is the value of this expression in decimal form?\[\frac{44}{11} + \frac{110}{44} + \frac{44}{1100}\]

$\textbf{(A) } 6.4\qquad\textbf{(B) } 6.504\qquad\textbf{(C) } 6.54\qquad\textbf{(D) } 6.9\qquad\textbf{(E) } 6.94$

Problem 3

Four squares of side lengths $4$$7$$9$, and $10$ units are arranged in increasing size order so that their left edges and bottom edges align. The squares alternate in the color pattern white-gray-white-gray, respectively, as shown in the figure. What is the area of the visible gray region in square units?

[asy] size(150); filldraw((0,0)--(10,0)--(10,10)--(0,10)--cycle,gray(0.7),linewidth(1)); filldraw((0,0)--(9,0)--(9,9)--(0,9)--cycle,white,linewidth(1)); filldraw((0,0)--(7,0)--(7,7)--(0,7)--cycle,gray(0.7),linewidth(1)); filldraw((0,0)--(4,0)--(4,4)--(0,4)--cycle,white,linewidth(1)); draw((11,0)--(11,4),linewidth(1)); draw((11,6)--(11,10),linewidth(1)); label("$10$",(11,5),fontsize(14pt)); draw((10.75,0)--(11.25,0),linewidth(1)); draw((10.75,10)--(11.25,10),linewidth(1)); draw((0,11)--(4,11),linewidth(1)); draw((6,11)--(9,11),linewidth(1)); draw((0,11.25)--(0,10.75),linewidth(1)); draw((9,11.25)--(9,10.75),linewidth(1)); label("$9$",(5,11),fontsize(14pt)); draw((-1,0)--(-1,1),linewidth(1)); draw((-1,3)--(-1,7),linewidth(1)); draw((-1.25,0)--(-0.75,0),linewidth(1)); draw((-1.25,7)--(-0.75,7),linewidth(1)); label("$7$",(-1,2),fontsize(14pt)); draw((0,-1)--(1,-1),linewidth(1)); draw((3,-1)--(4,-1),linewidth(1)); draw((0,-1.25)--(0,-.75),linewidth(1)); draw((4,-1.25)--(4,-.75),linewidth(1)); label("$4$",(2,-1),fontsize(14pt)); [/asy]

$\textbf{(A)}\ 42 \qquad \textbf{(B)}\ 45 \qquad \textbf{(C)}\ 49 \qquad \textbf{(D)}\ 50 \qquad \textbf{(E)}\ 52$

Problem 4

When Yunji added all the integers from $1$ to $9$, she mistakenly left out a number. Her incorrect sum turned out to be a square number. What number did Yunji leave out?

$\textbf{(A) } 5\qquad\textbf{(B) } 6\qquad\textbf{(C) } 7\qquad\textbf{(D) } 8\qquad\textbf{(E) } 9$

Problem 5

Aaliyah rolls two standard 6-sided dice. She notices that the product of the two numbers rolled is a multiple of $6$. Which of the following integers cannot be the sum of the two numbers?

$\textbf{(A) } 5\qquad\textbf{(B) } 6\qquad\textbf{(C) } 7\qquad\textbf{(D) } 8\qquad\textbf{(E) } 9$

Problem 6

Sergei skated around an ice rink, gliding along different paths. The gray lines in the figures below show four of the paths labeled $P$$Q$$R$, and $S.$ What is the sorted order of the four paths from shortest to longest?

[Diagram Required]

$\textbf{(A)}\ P,Q,R,S \qquad \textbf{(B)}\ P,R,S,Q \qquad \textbf{(C)}\ Q,S,P,R \qquad \textbf{(D)}\ R,P,S,Q \qquad \textbf{(E)}\ R,S,P,Q$

Problem 7

$3$x$7$ rectangle is covered without overlap by 3 shapes of tiles: $2$x$2$$1$x$4$, and $1$x$1$, shown below. What is the minimum possible number of $1$x$1$ tiles used?

2024-AMC8-q7.png

$\textbf{(A) } 1\qquad\textbf{(B)} 2\qquad\textbf{(C) } 3\qquad\textbf{(D) } 4\qquad\textbf{(E) } 5$

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