赛事资讯 - 第 57 页 - American Mathematics Competitions

AMC8题目难度如何分布？附AMC8考试时间分配建议！

作为面向中小学生的数学竞赛，AMC8竞赛在低龄数学竞赛领域具有独特的地位。它的题目设计和考察内容更贴近学生的学习水平，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。

AMC8题目难度如何分布？

AMC8共有25题，考试时长为40分钟，总分25分。AMC8真题题目难度逐渐递增的，可以划分为5个难度梯队：

AMC8数学竞赛考试共25题，考试时长40分钟，总分25分，整体难度可划分为5个等级：

1-5题：简单题，整体难度较低，读完试题基本就可以直接做出答案，学生整体花费时间很少。

6-10题：也是简单题，但在问题的处理以及题干中会设置一些文字陷阱，需要同学们细心作答。

11-15题：中等难度试题，有一定的难度，考察单项知识点的运用和掌握，如果同学们完全掌握AMC8考察知识点的内容，这道题也是不难做出的。

16-20题：中等偏难试题，有可能会出现多个知识点结合考察的试题，题目考察的灵活性也会变多，对学生的计算能力、逻辑思维能力的要求还是比较高的。

21-25题：AMC8竞赛考试中难题的分布区间，也是拉开差距的试题，这些题目除了考察知识点内容之外，还有非常高的自由度和难度，考察学生综合的数学能力。

AMC8考试时间分配建议

AMC8包含25题，要求在40分钟内完成，平均每题仅需1.6分钟。题目难度逐步提升，前10题较为简单，11-15题难度稍有增加，16-20题难度更高，而最后的21-25题则是专为筛选前1%和前5%的解答者而设计，难度最大。

然而，难度的提升并非稳步上升，可能会出现前面题目比后面题目难的情况，因此，如果遇到困难，应立即跳过，不要停留。

考试时间分配建议：

1-10题：5分钟

11-15题：5分钟（最多15分钟一定要完成1-15题）

16-20题15分钟

21-25题：20分钟（至少预留15分钟）

Tips：

拿到试卷后首先快速浏览题目，找出自己比较熟悉的题型，保证正确率，如果时间够，再去看不熟悉的题型，这是非常重要的考场技巧。

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2024 AMC8考试报名即将截止！参加AMC8考试需要具备什么样的数学基础？

在中国，许多初涉竞赛的家长开始关注AMC8竞赛，并将其作为评估孩子数学能力的重要指标之一。优异的AMC8竞赛成绩可以为学生在小升初升学过程中增加竞争力，尤其是在上海的“三公”学校和北京的六小强学校等知名学校。

2024 AMC8考试时间轴

▶ 准考证查询时间

2024年1月12日12:00开放查询准考证

▶ 线上考试模考时间

2024年1月13日-2024年1月14日

▶ 活动时间

2024年1月19日(星期五)下午17:00-17:40(暂定，最终活动时间以准考证为准)

▶ 成绩查询时间

考后 2-4 周 (具体时间以官方通知为准)

▶ 分数线查询时间

考后 6-8周(具体时间以官方通知为准)

▶ 证书下载时间

考后 6-8周 (具体时间以官方通知为准)

参加AMC8考试需要具备什么样的数学基础？

具备4年级数学基础：

建议从3年级开始学习，补充小学阶段的数学知识和小奥数学知识。目标是能够达到拿下AR奖（15分）的水平。

已学完小学数学知识的学生：

如果已经学完了全部的小学课内知识，需要补充初中课内知识、AMC8余量知识，并掌握比赛解题技巧。建议按照基础系统过一遍、强化重难点、真题训练巩固备赛冲刺的进程进行学习。

7-8年级学生：

对于这类学生，他们可能已经学习了AMC8考试的大纲内容。他们只需要进行针对性的测试，专注于强化重难点和考前冲刺即可。

参加AMC8竞赛不仅可以提高学生的数学水平，培养解决问题的能力，还有助于学生在升学过程中脱颖而出。因此，越来越多的家长和学生开始重视和参与AMC8竞赛。

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2024年AMC8开考倒计时！AMC8竞赛个人如何报名？附AMC8答题常用技巧

AMC8竞赛在中国学生中具有广泛的功能和作用。它不仅可以作为学生升学的参考指标，还可以提升学生的数学思维能力和英语学习效果。参加AMC8竞赛可以展示个人实力，为进入名校打下坚实的基础。

活动形式

中英文试卷，25道选择题，40分钟，满分25分，答对一题得1分，答错不答不扣分。不允许使用计算器。

奖项设置

全球个人奖项

满分奖 Perfect Scores：获得满分25分的同学

全球卓越奖 Distinguished Honor Roll：全球排名前1%

全球优秀奖 Honor Roll：全球排名前5%

全球荣誉奖 Achievement Roll：6年级及以下在AMC8中获得15分以上

1.所在学校统一安排报名。

具体可以咨询孩子所在班级的数学老师，AMC中国组委会与多所国内优学校合作，学校可以统一报名，（AMC中国组委会或者阿思丹小程序）。

2.辅导机构代报名

国际教育课程辅导培训机构通常可以代报名，但是官方报名截止时间早，因此如果学校不能报名，家长一定早做打算。需要代报名服务的同学，可以扫码添加顾问老师领取报名表~

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AMC8答题常用技巧：

找规律：对于数列问题，可以从最简单的初始情况开始研究，尝试寻找规律。对于余数求解问题，余数往往是循环出现的，可以尝试找到规律。

特定值法：当题目要求最大值或最小值时，可以从最极端的情况开始考虑，假设变量中的一个取到其最值。在一些比例、百分比和比率问题中，如果不知道总数并且总数不影响答案，可以假设一个总数进行计算。对于不唯一确定的几何图形，可以假设特殊条件（如特殊角度或边长）进行计算。

排除法：考虑问题的可能取值范围，将范围外的选项排除。对于逻辑推理问题，可以逐个检验每个选项，排除有矛盾的选项。根据奇偶性，可以排除某些选项。

度量法：对于部分几何题，如果题目条件能够唯一确定图形，可以作出标准图。当题目条件不能唯一确定图形时，可以画出某种特殊情况下的图形，通过度量边长或角度直接得到答案。

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AMC12竞赛成绩对申请大学有什么帮助？AMC12都有哪些奖项？

AMC12数学竞赛是一项高含金量的数学竞赛，由美国数学家协会组织。在全球名校中，AMC竞赛的认可度相当高。参加AMC12竞赛并取得良好的成绩可以提升学生申请名校的概率。

AMC12考察内容

AMC12考题重点多集中在进阶平面几何与立体几何、进阶代数、组合计数、综合数论、复数、对数与对数函数、多项式等，和AMC10竞赛相比，AMC12竞赛知识点新增：

进阶代数

复杂不等式、调和不等式、轮换不等式、柯西不等式；复杂函数问题，反函数和符合函数，三角函数和差化积、积化和差，万能公式；复数，复平面，欧拉公式，蒂莫夫公式；数学归纳法、复杂数列和极限。

进阶几何

圆相关几何进阶；数形结合，二维、三维图形的函数表达，进阶解析几何；不规则二维、三维图形的处理；二维向量、三维向量

进阶数论

二次余数，高次余数、费马圣诞节定理、费马小定理；各类丢番图方程的解法

进阶组合

随机过程和期望；复杂组合问题技巧、基本综合问题

AMC12竞赛成绩对申请大学的影响：

- AMC12竞赛成绩全球前2.5%至5%：有利于申请美国综合排名前30至50的大学。

- AMC12竞赛成绩达到全球前2.5%，或AIME成绩达到7分或以上：有利于申请美国综合排名前30的大学。

- AMC12竞赛成绩达到全球前1%，或AIME成绩达到8分或以上：有利于进入美国排名前20的大学。

在一些知名大学如麻省理工学院（MIT）、加州理工学院（Caltech）、斯坦福大学等的申请页面，会要求学生专门填写AMC竞赛成绩。

据麻省理工学院的招生官表示，如果学生提交了AMC成绩，并晋级到AIME阶段，那么进入MIT的几率约为20%。如果学生晋级到USA/JMO阶段，进入MIT的几率为50%。而如果学生晋级到IMO阶段，几乎可以确保被MIT录取。

AMC12竞赛奖项及分数线

Perfect Score

获奖条件：在竞赛中拿到满分

Honor Roll of Distinction

获奖条件：成绩达到全部参赛者的前1%

Honor Roll

获奖条件：成绩达到全部参赛者的前5%

Certificate of Achievement

获奖条件：参赛者为10年级及以下，且获得90分及以上分数

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2013年USAJMO 真题及答案

Day 1

Problem 1

Are there integers $a$ and $b$ such that $a^5b+3$ and $ab^5+3$ are both perfect cubes of integers?

Problem 2

Each cell of an $m\times n$ board is filled with some nonnegative integer. Two numbers in the filling are said to be adjacent if their cells share a common side. (Note that two numbers in cells that share only a corner are not adjacent). The filling is called a garden if it satisfies the following two conditions:

(i) The difference between any two adjacent numbers is either $0$ or $1$ .

(ii) If a number is less than or equal to all of its adjacent numbers, then it is equal to $0$ .

Determine the number of distinct gardens in terms of $m$ and $n$ .

Problem 3

In triangle $ABC$ , points $P,Q,R$ lie on sides $BC,CA,AB$ respectively. Let $\omega_A$ , $\omega_B$ , $\omega_C$ denote the circumcircles of triangles $AQR$ , $BRP$ , $CPQ$ , respectively. Given the fact that segment $AP$ intersects $\omega_A$ , $\omega_B$ , $\omega_C$ again at $X,Y,Z$ respectively, prove that $YX/XZ=BP/PC$ .

Day 2

Problem 4

Let $f(n)$ be the number of ways to write $n$ as a sum of powers of $2$ , where we keep track of the order of the summation. For example, $f(4)=6$ because $4$ can be written as $4$ , $2+2$ , $2+1+1$ , $1+2+1$ , $1+1+2$ , and $1+1+1+1$ . Find the smallest $n$ greater than $2013$ for which $f(n)$ is odd.

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2014年USAJMO 真题及答案

Day 1

Problem 1

Let $a$ , $b$ , $c$ be real numbers greater than or equal to $1$ . Prove that $\min{\left (\frac{10a^2-5a+1}{b^2-5b+10},\frac{10b^2-5b+1}{c^2-5c+10},\frac{10c^2-5c+1}{a^2-5a+10}\right )}\leq abc.$ Solution

Problem 2

Let $\triangle{ABC}$ be a non-equilateral, acute triangle with $\angle A=60^\circ$ , and let $O$ and $H$ denote the circumcenter and orthocenter of $\triangle{ABC}$ , respectively.

(a) Prove that line $OH$ intersects both segments $AB$ and $AC$ .

(b) Line $OH$ intersects segments $AB$ and $AC$ at $P$ and $Q$ , respectively. Denote by $s$ and $t$ the respective areas of triangle $APQ$ and quadrilateral $BPQC$ . Determine the range of possible values for $s/t$ .

Problem 3

Let $\mathbb{Z}$ be the set of integers. Find all functions $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ such that $xf(2f(y)-x)+y^2f(2x-f(y))=\frac{f(x)^2}{x}+f(yf(y))$ for all $x, y \in \mathbb{Z}$ with $x \neq 0$ .

Day 2

Problem 4

Let $b\geq 2$ be an integer, and let $s_b(n)$ denote the sum of the digits of $n$ when it is written in base $b$ . Show that there are infinitely many positive integers that cannot be represented in the form $n+s_b(n)$ , where $n$ is a positive integer.

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2016年USAJMO 真题及答案

Day 1

Problem 1

The isosceles triangle $\triangle ABC$ , with $AB=AC$ , is inscribed in the circle $\omega$ . Let $P$ be a variable point on the arc $\stackrel{\frown}{BC}$ that does not contain $A$ , and let $I_B$ and $I_C$ denote the incenters of triangles $\triangle ABP$ and $\triangle ACP$ , respectively.

Prove that as $P$ varies, the circumcircle of triangle $\triangle PI_BI_C$ passes through a fixed point.

Problem 2

Prove that there exists a positive integer $n < 10^6$ such that $5^n$ has six consecutive zeros in its decimal representation.

Problem 3

Let $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ be a sequence of mutually distinct nonempty subsets of a set $S$ . Any two sets $X_i$ and $X_{i+1}$ are disjoint and their union is not the whole set $S$ , that is, $X_i\cap X_{i+1}=\emptyset$ and $X_i\cup X_{i+1}\neq S$ , for all $i\in\{1, \ldots, 99\}$ . Find the smallest possible number of elements in $S$ .

Day 2

Problem 4

Find, with proof, the least integer $N$ such that if any $2016$ elements are removed from the set $\{1, 2,\dots,N\}$ , one can still find $2016$ distinct numbers among the remaining elements with sum $N$ .

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2017年USAJMO 真题及答案

2017年USAJMO 真题

Day 1

Note: For any geometry problem whose statement begins with an asterisk ( $*$ ), the first page of the solution must be a large, in-scale, clearly labeled diagram. Failure to meet this requirement will result in an automatic 1-point deduction.

Problem 1

Prove that there are infinitely many distinct pairs $(a,b)$ of relatively prime positive integers $a > 1$ and $b > 1$ such that $a^b + b^a$ is divisible by $a + b.$

Problem 2

Consider the equation $\left(3x^3 + xy^2 \right) \left(x^2y + 3y^3 \right) = (x-y)^7.$

(a) Prove that there are infinitely many pairs $(x,y)$ of positive integers satisfying the equation.

(b) Describe all pairs $(x,y)$ of positive integers satisfying the equation.

Problem 3

( $*$ ) Let $ABC$ be an equilateral triangle and let $P$ be a point on its circumcircle. Let lines $PA$ and $BC$ intersect at $D$ ; let lines $PB$ and $CA$ intersect at $E$ ; and let lines $PC$ and $AB$ intersect at $F$ . Prove that the area of triangle $DEF$ is twice the area of triangle $ABC$ .

Day 2

Problem 4

Are there any triples $(a,b,c)$ of positive integers such that $(a-2)(b-2)(c-2) + 12$ is a prime that properly divides the positive number $a^2 + b^2 + c^2 + abc - 2017$ ?

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2018年USAJMO 真题及答案

2018年USAJMO 真题

Day 1

Problem 1

For each positive integer $n$ , find the number of $n$ -digit positive integers that satisfy both of the following conditions:

$\bullet$ no two consecutive digits are equal, and

$\bullet$ the last digit is a prime.

Problem 2

Let $a,b,c$ be positive real numbers such that $a+b+c=4\sqrt[3]{abc}$ . Prove that $2(ab+bc+ca)+4\min(a^2,b^2,c^2)\ge a^2+b^2+c^2.$ Solution

Problem 3

( $*$ ) Let $ABCD$ be a quadrilateral inscribed in circle $\omega$ with $\overline{AC} \perp \overline{BD}$ . Let $E$ and $F$ be the reflections of $D$ over lines $BA$ and $BC$ , respectively, and let $P$ be the intersection of lines $BD$ and $EF$ . Suppose that the circumcircle of $\triangle EPD$ meets $\omega$ at $D$ and $Q$ , and the circumcircle of $\triangle FPD$ meets $\omega$ at $D$ and $R$ . Show that $EQ = FR$ .

Day 2

Problem 4

Triangle $ABC$ is inscribed in a circle of radius 2 with $\angle ABC \geq 90^\circ$ , and $x$ is a real number satisfying the equation $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0$ , where $a=BC,b=CA,c=AB$ . Find all possible values of $x$ .

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2019年USAJMO 真题及答案

2019年USAJMO 真题

Day 1

Note: For any geometry problem whose statement begins with an asterisk $(*)$ , the first page of the solution must be a large, in-scale, clearly labeled diagram. Failure to meet this requirement will result in an automatic 1-point deduction.

Problem 1

There are $a+b$ bowls arranged in a row, numbered $1$ through $a+b$ , where $a$ and $b$ are given positive integers. Initially, each of the first $a$ bowls contains an apple, and each of the last $b$ bowls contains a pear.

A legal move consists of moving an apple from bowl $i$ to bowl $i+1$ and a pear from bowl $j$ to bowl $j-1$ , provided that the difference $i-j$ is even. We permit multiple fruits in the same bowl at the same time. The goal is to end up with the first $b$ bowls each containing a pear and the last $a$ bowls each containing an apple. Show that this is possible if and only if the product $ab$ is even.

Problem 2

Let $\mathbb Z$ be the set of all integers. Find all pairs of integers $(a,b)$ for which there exist functions $f:\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z$ and $g:\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z$ satisfying $f(g(x))=x+a\quad\text{and}\quad g(f(x))=x+b$ for all integers $x$ .

Problem 3

$(*)$ Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral satisfying $AD^2+BC^2=AB^2$ . The diagonals of $ABCD$ intersect at $E$ . Let $P$ be a point on side $\overline{AB}$ satisfying $\angle APD=\angle BPC$ . Show that line $PE$ bisects $\overline{CD}$ .

Day 2

Problem 4

$(*)$ Let $ABC$ be a triangle with $\angle ABC$ obtuse. The $A$ -excircle is a circle in the exterior of $\triangle ABC$ that is tangent to side $BC$ of the triangle and tangent to the extensions of the other two sides. Let $E, F$ be the feet of the altitudes from $B$ and $C$ to lines $AC$ and $AB$ , respectively. Can line $EF$ be tangent to the $A$ -excircle?

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