赛事资讯 - 第 76 页 - American Mathematics Competitions

2022年USAJMO 真题及答案

2022年USAJMO 真题

Day 1

$\textbf{Note:}$ For any geometry problem whose statement begins with an asterisk $(*)$ , the first page of the solution must be a large, in-scale, clearly labeled diagram. Failure to meet this requirement will result in an automatic 1-point deduction.

Problem 1

For which positive integers $m$ does there exist an infinite arithmetic sequence of integers $a_1,a_2,\cdots$ and an infinite geometric sequence of integers $g_1,g_2,\cdots$ satisfying the following properties?

$\bullet$ $a_n-g_n$ is divisible by $m$ for all integers $n>1$ ;

$\bullet$ $a_2-a_1$ is not divisible by $m$ .

Problem 2

Let $a$ and $b$ be positive integers. The cells of an $(a + b + 1)\times (a + b + 1)$ grid are colored amber and bronze such that there are at least $a^2+ab-b$ amber cells and at least $b^2+ab-a$ bronze cells. Prove that it is possible to choose $a$ amber cells and $b$ bronze cells such that no two of the $a+b$ chosen cells lie in the same row or column.

Problem 3

Let $b\geq2$ and $w\geq2$ be fixed integers, and $n=b+w$ . Given are $2b$ identical black rods and $2w$ identical white rods, each of side length $1$ .

We assemble a regular $2n$ -gon using these rods so that parallel sides are the same color. Then, a convex $2b$ -gon $B$ is formed by translating the black rods, and a convex $2w$ -gon $W$ is formed by translating the white rods. An example of one way of doing the assembly when $b=3$ and $w=2$ is shown below, as well as the resulting polygons $B$ and $W$ .

$[asy] size(10cm); real w = 2*Sin(18); real h = 0.10 * w; real d = 0.33 * h; picture wht; picture blk; draw(wht, (0,0)--(w,0)--(w+d,h)--(-d,h)--cycle); fill(blk, (0,0)--(w,0)--(w+d,h)--(-d,h)--cycle, black); // draw(unitcircle, blue+dotted); // Original polygon add(shift(dir(108))*blk); add(shift(dir(72))*rotate(324)*blk); add(shift(dir(36))*rotate(288)*wht); add(shift(dir(0))*rotate(252)*blk); add(shift(dir(324))*rotate(216)*wht); add(shift(dir(288))*rotate(180)*blk); add(shift(dir(252))*rotate(144)*blk); add(shift(dir(216))*rotate(108)*wht); add(shift(dir(180))*rotate(72)*blk); add(shift(dir(144))*rotate(36)*wht); // White shifted real Wk = 1.2; pair W1 = (1.8,0.1); pair W2 = W1 + w*dir(36); pair W3 = W2 + w*dir(108); pair W4 = W3 + w*dir(216); path Wgon = W1--W2--W3--W4--cycle; draw(Wgon); pair WO = (W1+W3)/2; transform Wt = shift(WO)*scale(Wk)*shift(-WO); draw(Wt * Wgon); label("$W$", WO); /* draw(W1--Wt*W1); draw(W2--Wt*W2); draw(W3--Wt*W3); draw(W4--Wt*W4); */ // Black shifted real Bk = 1.10; pair B1 = (1.5,-0.1); pair B2 = B1 + w*dir(0); pair B3 = B2 + w*dir(324); pair B4 = B3 + w*dir(252); pair B5 = B4 + w*dir(180); pair B6 = B5 + w*dir(144); path Bgon = B1--B2--B3--B4--B5--B6--cycle; pair BO = (B1+B4)/2; transform Bt = shift(BO)*scale(Bk)*shift(-BO); fill(Bt * Bgon, black); fill(Bgon, white); label("$B$", BO); [/asy]$

Prove that the difference of the areas of $B$ and $W$ depends only on the numbers $b$ and $w$ , and not on how the $2n$ -gon was assembled.

Day 2

Problem 4

$(*)$ Let $ABCD$ be a rhombus, and let $K$ and $L$ be points such that $K$ lies inside the rhombus, $L$ lies outside the rhombus, and $KA=KB=LC=LD$ . Prove that there exist points $X$ and $Y$ on lines $AC$ and $BD$ such that $KXLY$ is also a rhombus.

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藤校生人手必备！9-12年级如何备考AMC12数学竞赛？

AMC12数学竞赛则更被称为数学界的含金量，它是检验数学水平的专业赛事，也是升入藤校的敲门砖。AMC12数学竞赛的成绩在国际学校申请留学时具有重要的依据。许多世界知名大学，如麻省理工学院、斯坦福大学等，每年都会获取AMC竞赛的参赛名单和成绩。布朗大学、卡内基梅隆大学、多伦多大学等世界名校也将AMC成绩作为学生申请入学时的重要参考因素之一。

AMC12美国数学竞赛规则

参赛资格：12年级或以下，年龄在19.5岁以下。

考试形式：75分钟，25个单项选择题题，每道选择题都有五个选项。

得分标准：每道题答对得6分，不答得1.5分，答错得0分，满分为150分。

备考计划

7-8年级准备冲刺90分：

- 学完所有考点内容：确保在考试前学完所有考点内容，包括代数、几何、计数和数论等。这样可以在考试中对所有题目有一定的了解和掌握。

- 前15题拿满分：前15题通常是较为简单的题目，要努力争取拿满分。这可以为你在竞赛中积累更多的分数，并增加晋级AIME的机会。

9-10年级备考美高/国际学校：

- 冲刺阶段多刷题：在备考阶段，要通过刷题来提高解题能力和熟悉题型。可以选择刷AMC10/12历年真题和模拟题，重点关注难度较高的题目。同时，要注意分析解题思路和方法，找出自己的薄弱点，并进行针对性的复习和提高。

- 冲刺100分：在备考过程中，要努力提高分数，争取达到满分。这需要对基础知识有深入的理解和掌握，并能够熟练运用解题技巧和策略。

11-12年级预备申请本科院校：

- 系统学习AMC10/12答题技巧：在备考过程中，要系统学习和掌握AMC10/12的解题技巧和策略。这包括分析题目、找到关键信息、尝试不同的解题方法等。通过熟练掌握解题技巧，可以在竞赛中更高效地解决问题。

- 拿下压轴难题：在备考的最后阶段，要特别关注压轴难题。这些题目通常较为复杂，但也是可以获得高分的机会。通过针对性的练习和复习，努力攻克这些难题，争取在竞赛中取得理想成绩。

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AMC8竞赛考试拿奖策略！附AMC8竞赛线上考试主要事项

近年来，AMC竞赛已成为中小学升学过程中的重要测评活动之一。越来越多的家长意识到，参与AMC竞赛不仅可以培养孩子的逻辑思维和解决问题的能力，还可以为孩子未来的学业发展打下坚实的基础。

AMC8是专为初中一年级和初中二年级的学生设计的数学测验，参加AMC8不仅可以锻炼学生的数学思维，还能够获得宝贵的数学经验。

AMC8竞赛线上考试主要事项

1、考前30分钟登录线上考试系统，完成考生身份核验，考前10分钟开启电脑端摄像头及手机端监考摄像头，做好考试准备；考试开始15分钟后，未参考的考生，不得再登录考试系统参加考试；

2、考试期间，请在独立、安静考试环境中完成考试，全程安静答题，不允许说话；

3、实时监控会随机抓拍，并跟数据库内的照片比对，如比对不成功将会被强制交卷，所以考试过程中一定要保证画面清晰，并且保证人脸在摄像头范围内。

4、考前确保网络状况良好，如果考试途中有断电断网的情况出现，不要慌张，马上恢复电力网络，重新登录即可继续答题。

5、本次考试不允许提前交卷。交卷过程中如卡在提交界面，进度条不走或未弹出交卷成功字样，静待10秒钟后关闭页面即可，系统会帮助您自动交卷。

AMC8竞赛考试拿奖策略：

答题冲遇到难度大的题目时，可以选择果断放弃先答后面的题目。如果时间充足，可以回来再做这些题目。

前10道题按照正常顺序做。从第10题附近开始，如果题目变得复杂，可以考虑转变答题策略。

- 均衡型：如果对竞赛的知识都非常熟悉，没有特别擅长的点，可以按照顺序答题，控制好每道题的答题时间。

- 自动回避型：如果有不擅长的知识点，可以先跳过这类题目，等完成其他题目后，如果还有时间再回过头来做这类题目。

- 擅长优先型：如果有明显的擅长点，可以根据自己在不同模块的水平，从高到低依次解答剩余题目。例如，如果擅长几何题目，可以先做几何题。

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AIME竞赛时间线公布！AIME考前必看冲刺建议！

AIME竞赛是介于AMC10/12竞赛和USAMO竞赛之间的一场数学竞赛。每年11月份，AMC10/12竞赛的晋级学生会收到邀请参加AIME竞赛，并在次年2月份进行比赛。

2024年AIME竞赛依旧是2月正式开赛，具体时间安排如下。AIME竞赛分为AIME I和AIME II，两场竞赛难度相同，但试题不同，晋级的同学可以参加AIME I或AIME II，但不能同时参加。任何考生如果同时参加将被取消考试资格。

AIME竞赛时间线

AIME Ⅰ：2024年2月1日

AIME Ⅱ：2024年2月7日

报名：无需报名，受邀参赛

竞赛奖项：不设置奖项

AIME考前冲刺建议

复习核心知识点：

AIME竞赛的题目相对复杂，但仍然离不开高中数学的核心知识点。在备考过程中，要重点复习和巩固算术、代数、几何、计数、数论、概率等知识点。确保对这些知识点有深入的理解和掌握，并能够熟练运用于解题过程中。

解题技巧和策略：

AIME竞赛注重解题能力和创新思维。在备考过程中，要培养好的解题技巧和策略。这包括分析题目、找到关键信息、尝试不同的解题方法、进行逻辑推理等。通过多做题目和模拟考试，熟悉各种题型和解题思路，提高解题的速度和准确性。

刷AIME样题和历年真题：

除了刷AMC10/12的题目，还要刷一些AIME样题和历年真题。这样可以更好地了解AIME的题型和难度，并熟悉AIME的考察方式。通过分析解题过程和答案解析，找出解题的关键点和解题思路，提高解题能力和应对复杂题目的能力。

时间管理和模拟考试：

AIME竞赛的时间相对紧张，要在有限的时间内完成更多的题目。在备考过程中，要注意时间管理，掌握解题的速度和节奏。可以进行模拟考试，模拟竞赛的真实环境和时间限制，提前适应竞赛的压力和节奏。

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备考AMC8必看！AMC8数学竞赛五个拿奖方案！参加AMC8数学竞赛有什么用处？

AMC8数学竞赛作为低龄数学竞赛的翘楚，一直以来都受到了国内外家长们的广泛关注。对于中小学生来说，参与AMC8数学竞赛不仅是一种锻炼数学能力的机会，更是展现自己才华和潜力的平台。

AMC8数学竞赛的五个拿奖方案：

平时做题成绩22分以上，冲刺满分：

- 平时做题成绩达到22分以上，可以拿到DH奖。

- 在考前一个月，重点针对重难点进行训练，稳住22分的基础上，冲刺满分。

平时做题成绩17+分以上，冲刺全球前1%：

- 平时做题成绩达到17+分以上，可以有机会拿到全球前1%的成绩。

- 在考前一个月，重点针对后10道难题进行专门训练，突破难点，提高分数。

平时做题成绩14分左右，冲刺全球前5%：

- 平时做题成绩在14分左右，可以有机会拿到全球前5%的成绩。

- 不追求难题，重点训练基础题和提分题。

- 如果有余力，可以尝试解决一些难题。

六年级以下做题成绩12分左右，冲刺低龄成就奖：

- 六年级以下学生，如果做题成绩在12分左右，可以有机会拿到低龄成就奖。

- 在考前一个月，重点练习15道题，确保都能答对，然后根据情况抓分。

初次了解，2024年不着急考试：

- 如果是初次了解AMC8竞赛，且时间来不及准备2024年的考试，可以备考2025年的考试。

- 建议参加全程班学习，包括AMC8全部基础知识的讲解、测评、训练等环节。

- 在备考过程中，要巩固基础，系统提升，并精心备考一年，冲刺目标奖项。

参加AMC8数学竞赛有什么用处？

助力小升初和中学升学：AMC8竞赛是一项含金量高的国际数学比赛。获得优秀的成绩和奖项可以在私校申请和中学择校过程中提供帮助。

拓宽数学思维：许多学生在学习数学时缺乏体系性，缺乏数学思维和逻辑能力，也缺乏灵活变通的能力。备考AMC8竞赛可以帮助学生灵活运用已有的知识点，在老师的指导下找到巧妙解题的方法，锻炼数学思维，同时激发对数学的兴趣。

长期提高数学能力：作为学生参加数学竞赛的入门竞赛，AMC8的考试难度相对较低。通过备考AMC8竞赛，学生可以打下参加更高阶数学竞赛的基础，如AMC10、AMC12等。

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低年级备考AMC8难点在哪？AMC8中英双语出题英语完全不用准备？

AMC系列竞赛为学生们提供了一个有效的评估和展示自己数学能力的平台，对于培养数学兴趣和才华有着积极作用。

低年级备考AMC8难点在哪？

真题训练欠缺：

AMC8竞赛的题目涵盖小学到初中的内容，对学生的基础知识和解题能力都有一定要求。普通基础的学生想要在竞赛中取得满意的成绩，需要提前规划并打好基础。同时，在考前的备考冲刺阶段，有针对性地巩固知识点、学习解题技巧是非常重要的。刷真题也是必不可少的，通过重复刷题可以帮助学生熟悉考试的题型和难度，并加深对各个知识点的理解和掌握程度。

缺乏考点归纳能力：

AMC8竞赛没有官方的大纲，只能通过历年真题和推荐教材进行整合归纳。因此，学生需要具备总结和归纳考点的能力。可以结合历年真题和官方教材，整理出适合8年级及以下学生的AMC8复习大纲。AMC8主要围绕代数、几何、数论和组合等方面展开，学生需要重点关注这些内容，并进行系统的学习和练习。

AMC8中英双语出题，英语完全不用准备？

对于中国区的学生来说，AMC8竞赛是中英文双语试卷，英语部分是直译的。虽然可以直接依赖中文题目进行理解，但掌握足够的英语词汇量和专业术语对于提高阅读理解速度和准确性仍然是有帮助的。

如果学生能够掌握足够的英语词汇量和专业术语，他们可以更快地理解英文题目，减少理解偏差的可能性，并更有效地利用答题时间。此外，对于一些涉及英语表达的问题，学生可以更准确地理解题目要求，提供正确的答案。

因此，尽管AMC8竞赛是中英文双语试卷，但对于中国区的学生来说，掌握足够的英语词汇量和专业术语仍然是有益的，可以提高阅读理解速度和准确性，节省更多答题时间。学生可以通过积极学习英语词汇和专业术语，并进行相关的练习和模拟考试来提升自己的英语能力。

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AIME I和AIME II在难度有何区别？AIME竞赛考多少分比较有竞争力？

2024年AIME考试即将到来，AIME竞赛是一个更高阶的数学竞赛，对学生的数学能力和解题能力提出了更高的要求，因此一定要早做准备！

2024年AIME竞赛安排

AIME考试时间：

AIME I：2024年2月2日

AIME II：2024年2月8日

竞赛语言：中英双语

竞赛时长：180分钟

竞赛形式：15道填空题（注意：每道题答案的区间都只能是在000-999数字之间）

评分标准：1题1分，满分15分，答错、不答不得分

AIME I和AIME II在难度有何区别？

AIME I和AIME II是两个不同的考试，它们在难度和题目类型上有所不同。

AIME I通常被认为比AIME II更容易一些。AIME I的题目可能更直接，更注重基本概念和技巧的应用。这是因为AIME I是在AMC 10或AMC 12考试后进行的，所以它的难度相对较低，更适合那些在AMC考试中获得较高分数的学生。

AIME II通常被认为更具挑战性。AIME II的题目可能更加复杂，需要更深入的数学理解和解决问题的能力。它的难度更接近于美国数学奥林匹克（USAMO）的水平，对于那些在AMC考试中表现出色的学生来说，AIME II是一个更大的挑战。

AIME竞赛考多少分比较有竞争力？

在AIME竞赛中，要获得更具竞争力的成绩，具体的分数要求可以从晋级和申请的角度来考虑。

从晋级的角度来看，想要晋级到USA(J)MO（美国数学奥林匹克）至少需要答对8-9道题。这是因为晋级到USA(J)MO通常需要在AIME竞赛中获得较高的分数，而每年的晋级分数线会有所不同，取决于考试的难度和参加考试的学生人数。

从申请的角度来看，AIME竞赛的分数也可以作为申请数学夏令营等项目的参考。通常来说，AIME 7分以上的成绩在申请中被认为是比较有竞争力的分数。对于一些竞争更激烈的数学夏令营，如ROSS、SUMaC等，通常需要在9分左右才能有更好的竞争力。

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藤校生人手必备！AMC数学竞赛的含金量&难度如何评价？

AMC数学竞赛（American Mathematics Competitions）是美国数学协会主办的一系列数学竞赛活动，旨在激发学生对数学的兴趣和热爱，提高他们的数学能力和解决问题的能力。AMC数学竞赛以其高难度和广泛覆盖的数学内容而闻名，被广泛认为是全球顶级的数学竞赛之一。

1、AMC数学竞赛的难度和水平

AMC数学竞赛的题目设计非常精妙，涵盖了广泛的数学知识和技巧，包括代数、几何、数论、概率等多个领域。竞赛的难度逐渐增加，从AMC 8（适合8年级及以下学生）到AMC 10/12（适合10年级和12年级及以下学生），再到AIME（AMC的复试，适合高年级学生），最终进入USAMO（美国数学奥林匹克）和IMO（国际数学奥林匹克）等国际级竞赛。

AMC数学竞赛的题目通常具有较高的抽象性和创造性，需要学生具备深入理解和灵活运用数学概念的能力。参加AMC竞赛对学生的数学素养和解决问题的能力提出了较高的要求，因此其难度和水平在同类竞赛中处于较高水平。

此外，AMC数学竞赛的题目设计注重培养学生的逻辑思维和推理能力，鼓励学生通过不同的解题方法和角度来解决问题，培养学生的创新思维和解决实际问题的能力。

2、AMC数学竞赛的影响和认可度

AMC数学竞赛作为一项具有悠久历史和高度声誉的数学竞赛，受到全球范围内学生、教育机构和高校的广泛认可和重视。

AMC竞赛是美国数学协会主办的活动，得到了美国教育界的高度认可。许多美国顶尖大学和学院将AMC竞赛作为选拔优秀数学学生的重要参考，对AMC竞赛的成绩给予重视。

其次，AMC竞赛在全球范围内也具有广泛的影响力。许多国家和地区的学校和教育机构引入了AMC竞赛的题目和模式，作为培养学生数学能力和解决问题能力的重要手段。

此外，AMC竞赛的成绩也被许多奖学金和学术机构作为评判学生能力和学术潜力的重要依据。优秀的AMC成绩可以为学生在大学申请、奖学金申请和学术竞争中提供有力的支持。

3、AMC数学竞赛的意义和价值

AMC数学竞赛不仅仅是一项考试，更是一种培养学生数学素养和解决问题能力的学习方式和途径。

1.AMC竞赛可以激发学生对数学的兴趣和热爱。通过参加竞赛，学生可以接触到更广阔的数学领域和更有挑战性的问题，激发他们对数学的好奇心和求知欲。

2.AMC竞赛可以提高学生的数学能力和解决问题的能力。竞赛的题目设计注重培养学生的逻辑思维、推理能力和创新思维，培养学生独立思考和解决实际问题的能力。

3.AMC竞赛还可以为学生提供展示自己才华和能力的平台，为他们的学术发展和未来的职业道路打下坚实的基础。

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全球顶级数学竞赛！AMC如何参与和备考？

AMC数学竞赛作为全球顶级的数学竞赛之一，具有较高的难度和水平。竞赛的题目设计精妙，要求学生具备深入理解和灵活运用数学知识的能力。AMC竞赛受到全球范围内学生和高校的广泛认可，其成绩也被作为评判学生能力和学术潜力的重要依据。参加AMC竞赛可以激发学生对数学的兴趣和热爱，提高他们的数学能力和解决问题的能力，为他们的学术发展和未来的职业道路打下坚实的基础。

AMC数学竞赛的参与方式和备考建议

对于有兴趣参加AMC竞赛的学生，可以通过以下方式参与：

- 关注学校或教育机构的通知，了解竞赛的具体信息和报名时间（我们可为考生提供代报名服务）。

- 参加相关的培训班或数学俱乐部，提高自己的数学水平和解题能力。

- 多做题，通过解题训练来提高自己的数学思维和解决问题的能力。

- 参加模拟考试和竞赛经验交流活动，了解竞赛的形式和要求，增加自己的竞赛经验。

备考建议：

- 注重基础知识的扎实掌握，理解数学概念和定理的内涵。

- 学会分析问题，培养解题的逻辑思维和推理能力。

- 多做题，提高解题的速度和准确性。

- 针对竞赛的特点和难点进行有针对性的复习和训练。

相关问答Q&A

问题一：AMC数学竞赛适合哪些年级的学生参加？

AMC数学竞赛适合8年级及以上的学生参加。具体分为AMC 8（适合8年级及以下学生）、AMC 10（适合10年级及以下学生）、AMC 12（适合12年级及以下学生）。

问题二：AMC数学竞赛对学生有何帮助？

AMC数学竞赛可以激发学生对数学的兴趣和热爱，提高他们的数学能力和解决问题的能力。竞赛的成绩也被许多奖学金和学术机构作为评判学生能力和学术潜力的重要依据。

问题三：如何备考AMC数学竞赛？

备考AMC数学竞赛可以注重基础知识的扎实掌握，培养解题的逻辑思维和推理能力，多做题，参加模拟考试和竞赛经验交流活动。

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AIME报名确认开始！AIME竞赛报名选I卷还是II卷？附2024 AIME难度预测

晋级2024年AIME竞赛的同学们一定要注意啦！收到邮件以后还需要进一步报名，否则无法参赛！

AIME确认报名时间

中国区组委会：

2023年12月25日至2024年1月22日

阿思丹组委会：

AIME I 2024年1月28日截止报名；

AIME II 2024年2月4日截止报名！

2024 AIME难度预测

题目难度增加：前5道题可能类似于AMC12的难度，而从第6道题开始难度逐渐增加，后面的5道题可能更加困难。这可能导致很多学生难以获得满分，平均分也可能下降。

复合型问题比例增加：竞赛可能增加了一些涉及多个知识点结合的复合型问题。这对学生的知识点掌握和应用能力提出了更高的要求，需要能够将不同的知识点进行整合和运用。

对知识广度的要求增加：竞赛可能出现一些较为冷门的题目，涉及到组合恒等式、图论、椭圆等问题。这提示备考AIME的学生，在有余力的情况下可以进行一定的知识拓展，以确保熟练掌握竞赛的考点。

AIME竞赛报名选I卷还是II卷？

参赛时间

AIME I：2024年2月2日13:00-16:00

AIME II：2024年2月8日13:00-16:00

1.AIME I卷和AIME II卷的考试时间不同。如果你希望在AIME前有更多的时间来准备和复习，可以选择AIME II卷，因为它的考试时间比AIME I卷晚一些。这样你可以利用AIME I卷的题目进行模拟考试和最后的复习。

2.建议在实际考试前进行一次最接近真实考试环境的模拟考试，了解自己在真实考试中的表现，并及时调整备考策略。如果你的模拟考试分数在6分以下，选择AIME I卷还是AIME II卷并没有太大区别。此时，重要的是系统地学习和提高数学能力。你可以根据自己的时间安排和备考计划来选择。

*建议选择AIME II竞赛，因为AIME II的考试时间比AIME I考试迟，学生可以拿到AIME I的题目来做一次考前最仿真的模考。

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