tony - 第 27 页 - American Mathematics Competitions

2024 AMC10/12分数线预测来了！AMC10/12考后该如何规划？

在2024年的AMC10和AMC12考试中，学生们的参与热情高涨。随着比赛的结束，大家最为关心的莫过于获奖分数线的预测，而这一信息则为选手们的未来发展提供了重要参考。

2024 AMC10/12分数线预测

AMC10/12查分时间：预计6-8周内公布成绩，请大家耐心等待。

复议申请：如对成绩有疑问，可在成绩公布后的一定时间内提出复议申请。

AMC10/12考后规划

一、达到AIME晋级分数线

备考AIME竞赛

1.了解考试内容

知识点对比：虽然AMC10/12和AIME在知识点上有重合，但AIME的难度和深度都更高。AMC10/12主要考察基础数学知识，而AIME则更注重解题技巧和综合应用。

重点补充：特别是AMC10考生，需要补充一些高级数学知识，如复数、对数、三角函数、多项式等。

2.制定备考计划

时间安排：距离AIME考试还有约3个月的时间，可以分为三个阶段：

- 基础巩固（第1个月）：回顾和巩固AMC10/12的基础知识，确保没有遗漏。

- 专题训练（第2个月）：针对AIME的重点知识点进行专题训练，提升解题技巧。

- 模拟考试（第3个月）：进行多次模拟考试，熟悉考试节奏，查漏补缺。

3.获取真题资源

历年AIME真题是非常宝贵的资源，可以帮助你熟悉考试题型和难度。

二、未达到AIME分数线

备考来年AMC10/12竞赛

1.基础薄弱的同学

时间安排：留出充足的时间进行基础学习，建议至少提前6个月开始准备。

系统学习：系统地学习AMC10/12的所有知识点，确保每个部分都掌握扎实。

定期测试：定期进行自我测试，检验学习成果，及时调整学习计划。

2.基础较好的同学

巩固基础：继续巩固基础内容，查漏补缺，确保没有知识盲区。

提升难度：适当增加难度，挑战更复杂的题目，提升解题能力和速度。

模拟考试：进行多次模拟考试，熟悉考试环境和题型，增强应试能力。

现在扫码即可预约AMC10/12 B卷真题解析，待静默期结束后将第一时间发放！

没学过奥数可以参加AMC8吗？AMC8有几种报名方式？

近年来，AMC8在全球范围内受到越来越多家庭的关注，尤其是在一线城市如北京、上海、广州和深圳，许多家长开始重视孩子的小升初考试动态，而AMC8成为了他们讨论的热门话题。

没学过奥数可以参加AMC8吗？

许多家长可能会认为，若孩子没有学习过奥数，就无法顺利参加AMC8数学竞赛。然而，实际上这种看法并不准确。AMC8的考试内容涵盖了小学数学知识、小学奥数知识以及初中7-8年级的数学知识。尽管AMC8中会涉及一些奥数的考察，但国际竞赛中的奥数题目通常比国内的奥数内容简单许多。因此，即便没有奥数的学习经历，孩子们依然可以通过扎实的课内知识和提前掌握高年级的数学内容，顺利应对AMC8竞赛。

对于那些没有经过系统奥数训练的同学，重视基础知识的学习与应用尤为重要。AMC8着重考察学生的数学思维能力和解决问题的技巧，而不仅仅是解题技巧。因此，学生可以通过对课本知识的深入理解和实践，来增强他们在AMC8中的表现。

AMC8报名方式&注意事项

报名方式一：通过考点学校报名

确认报名资格：首先，确认自己是否符合AMC8的年龄要求（通常针对8年级及以下的学生，且比赛当天未满14.5周岁）。

联系学校：询问数学老师或学校的竞赛负责人，了解学校是否为AMC8的合作考点以及如何报名。

在线报名：如果学校是合作考点，可以通过微信“阿思丹国际理科测评”小程序进行报名。登录后按照指引填写个人信息并完成支付。

等待确认：提交报名信息后，等待学校或主办方的确认邮件或通知。

报名方式二：通过合作的培训机构报名

我们是AMC官方授权考点，扫码即可获取2025年AMC8竞赛报名表⇓

注意事项

报名时间：注意报名的截止日期，以免错过报名机会。一般情况下，2025年AMC8的报名截止时间在2025年的1月12日。

准备材料：准备好个人基本信息，如姓名、性别、出生日期、学校名称等，以便快速完成报名。

考前准备：无论通过哪种方式报名，都要提前做好考前准备，可以参考往年的试题进行练习，提高解题速度和准确率。

不知道孩子数学水平如何？

扫码进行AMC8能力测评，看看孩子是否适合参加AMC8！

扫码免费领取AMC8近20年中英真题+备考教材+AMC8必备公式集+词汇表！

80%新手家长不知道的AMC10和AMC12常见误区！参加AMC10/12有什么好处？

随着全球对优质教育的不断追求，数学成为了许多学生展示才能的重要领域。美国数学协会（MAA）主办的AMC系列竞赛，尤其是AMC10和AMC12，已成为青少年数学竞赛中最具影响力的赛事之一。

AMC10和AMC12是两场针对不同年级的数学竞赛，分别面向十年级及以下和十二年级及以下的学生。这类竞赛不仅仅是在学校展示所学知识的一次考试，更是通往国际数学奥林匹克（IMO）的重要一步。

AMC10和AMC12常见误区

误区一：没有参加AMC8，就不能考AMC10/12吗？

AMC系列竞赛包括AMC8、AMC10和AMC12，它们之间并没有直接的晋级关系。只要满足相应的年级要求，学生可以根据自身的数学水平和能力选择参加任何一个级别的考试。

误区二：AMC10/12 AB卷什么意思？只能考一场吗？

A卷和B卷的考察内容基本相同，但考试时间不同，学生可以根据自己的时间和准备情况选择参加一场或两场考试。

如果有AMC10和AMC12都想参加的同学，也可以选择AMC10A+AMC12B或者AMC12A+AMC10B的报名方式。

误区三：AMC10和AMC12是晋级关系吗？

AMC10和AMC12之间没有直接晋级关系。AMC10和AMC12的晋级关系主要体现在它们与AIME的关联上。

参加AMC10/12的一些主要好处

1.助力顶尖名校申请

大学申请：许多顶尖大学，如加州理工学院、麻省理工学院、斯坦福大学等，明确要求或强烈推荐申请者提供AMC和AIME数学竞赛成绩。这些成绩可以作为学生数学能力和学术潜力的有力证明。

竞争优势：在竞争激烈的大学申请过程中，优秀的AMC和AIME成绩可以显著提升申请者的竞争力，尤其是在理工科专业的申请中。

2.助力大学学科领域的学习

专业知识：AMC12竞赛中的许多题目涉及递归方程、序列、对数、复数、三角函数等高级数学知识，这些内容在大学课程中经常出现，尤其是在计算机科学、金融工程、物理等学科中。

解题技巧：在准备AMC竞赛的过程中，学生会学到许多解题技巧和方法，这些技巧在大学学习中仍然非常有用，可以帮助学生更快地理解和解决复杂的数学问题。

3.清晰晋升路径

AIME竞赛：AMC10前2.5%或AMC12前5%的学生可以晋级AIME竞赛。AIME是更高水平的数学竞赛，对申请大学和参加顶尖夏校非常有帮助。

顶尖夏校：AIME成绩优异的学生有机会参加如ROSS、SUMaC、PROMYS等知名数学夏令营，这些经历对申请大学和未来的职业发展都有很大的帮助。

扫码【免费领取】AMC10/12历年真题+高频词汇+必备公式！

AMC8适合几年级开始学？AMC8题型有什么特点？AMC8考多少分能拿奖？

在国际数学竞赛的广阔天地中，AMC8无疑是一颗璀璨的明珠。这项赛事不仅为学生提供了一个展示他们数学才能的绝佳平台，更是通往更高级别数学竞赛的重要跳板。随着AMC8数学竞赛考试的临近，许多同学正在紧锣密鼓地进行备考。然而，备考并不仅仅是埋头苦做习题，更需要有明确的方向和有效的方法。

AMC8适合几年级开始学？

官方建议

年级：AMC8适合8年级及以下的学生参加。

年龄：考试当天年龄不得超过14.5周岁。

实际情况

在中国，主要是4-6年级的小学生参加AMC8竞赛。近年来，越来越多的低龄学生（甚至4年级以下）也开始尝试参加AMC8竞赛。一、二年级还在重点在于打好数学基础，不建议过早的参加AMC8，所以建议从4年级开始准备AMC8。

AMC8题型特点

题目构成：

题量：AMC8包含25个选择题。

题型：全部为单项选择题，每个题目有5个选项（A、B、C、D、E）。

时间限制：

总时间：40分钟。

平均时间：每题大约1.6分钟。

AMC8难度分级

基础题：

难度：较容易，主要考察基本概念和简单运算。

位置：通常出现在试卷的前10-15题。

中等题：

难度：适中，需要一定的解题技巧和逻辑思维。

位置：通常出现在试卷的中间部分（15-20题）。

挑战题：

难度：较高，需要较强的数学知识和创造性思维。

位置：通常出现在试卷的最后部分（20-25题）。

AMC8考多少分能拿奖？

1.全球前1%（Distinguished Honor Roll, DHR）

分数范围：通常在21-23分左右波动。

影响因素：

试题难度：如果试题难度与往年持平或相近，预计前1%的分数线可能会在这个范围内。

难度降低：若试题难度稍有降低，分数线可能会略有上升，可能达到23-25分。

难度增加：若试题难度增加，分数线则可能下降，可能降至20-22分。

2.全球前5%（Honor Roll, HR）

分数范围：一般在18-20分上下。

影响因素：

试题难度：如果试题难度与往年持平或相近，预计前5%的分数线可能会在这个范围内。

难度降低：若试题难度稍有降低，分数线可能会略有上升，可能达到20-22分。

难度增加：若试题难度增加，分数线则可能下降，可能降至16-18分。

3.全球荣誉奖（Achievement Roll）

六年级及以下考生：15分以上。

影响因素：

固定标准：这个奖项的分数线相对固定，但如果整体参赛学生水平有所提高，获得该奖项的竞争可能会更激烈。

参赛人数：如果六年级及以下的参赛人数增加，分数线可能会略微上升，但仍大致维持在15分以上。

2025年AMC8火热报名中，扫码获取报名表！

扫码免费领取AMC8近20年中英真题+备考教材+AMC8必备公式集+词汇表！

体制内和国际路线的孩子考AMC8有什么用？

AMC8确实是一个非常有价值的数学竞赛，不仅在国内的体制内和国际教育路线中都有很高的认可度，还能帮助学生在数学能力、逻辑思维和解决问题方面得到显著提升。

对于体制内路线

1.提升竞争力：

- 申请“三公学校”：AMC8成绩被广泛认为是极具含金量和认可度的竞赛之一，许多家长和学生将其作为申请上海实验、上外附中、上外浦外等名校的重要材料。

- 证明数学能力：AMC8的高分可以有效证明学生的数学能力和潜力，增加被名校录取的机会。

2.超前学习：

- 涵盖广泛知识：AMC8考察的知识点不仅包括小学和初中7-8年级的内容，还涉及一些奥数知识，适合希望超前学习的学生。

-思维训练：AMC8的题目设计灵活多样，有助于学生进行思维训练，提升解决问题的能力。

3.激发兴趣：

不同等级的奖项：AMC8设有不同等级的奖项，能够激励学生积极参与，提升学习兴趣。

对于国际教育路线

1.申请国际学校：

- 招生考试：一些知名的国际学校，如包玉刚国际学校、平和双语学校和位育国际学校等，在招生考试中有时会直接采用AMC8的真题。

- 展示学术能力：AMC8成绩可以作为学生学术能力的有力证明，增加被优质国际学校录取的机会。

2.申请海外大学：

- 顶尖理工科院校：世界顶级理工科院校，如斯坦福、MIT、加州理工、卡内基梅隆大学等，都非常重视AMC竞赛的成绩。优秀的AMC8成绩可以在申请过程中为学生加分。

- 国际认可度：AMC8作为国际性的数学竞赛，其成绩在全球范围内都有很高的认可度，有助于学生在国际舞台上脱颖而出。

3.长期发展

- 早期培养：AMC8属于AMC系列竞赛的入门级别，适合小学生和初中生，可以帮助学生更早地培养数学逻辑思维和解决问题的能力。

- 为更高阶竞赛做准备：通过AMC8的训练，学生可以为后续参加AMC10/12，乃至AIME等更高阶的国际数学竞赛打下坚实的基础。

- 提升综合素质：AMC8不仅考察学生的数学知识，还要求学生具备良好的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力，有助于全面提升学生的综合素质。

无论是在国内的体制内教育体系还是国际教育体系中，AMC8都是一项非常有价值的数学竞赛。它不仅可以帮助学生提升数学能力，还能在申请名校和海外大学时增加竞争力。因此，建议有志于数学学习和发展的学生尽早参与AMC8竞赛。

不知道孩子数学水平如何？

扫码进行AMC8能力测评，看看孩子是否适合参加AMC8！

扫码免费领取AMC8近20年中英真题+备考教材+AMC8必备公式集+词汇表！

AMC10 和 AMC12 主要区别盘点！高中生AMC10和AMC12怎么选？

历经半个多世纪，AMC已成长为全球参与学生最多、影响范围最广的国际数学思维挑战活动之一。伴随着时间的推移，AMC的热度也在国内逐渐上升，越来越多的家庭意识到数学思维训练的重要性。

AMC10 和 AMC12 的主要区别

1.参赛年级和年龄限制

AMC10：

年级：10年级及以下的学生。

年龄：在比赛当天未满17.5周岁。

AMC12：

年级：12年级及以下的学生。

年龄：在比赛当天未满19.5周岁。

2.考察内容和难度

AMC10：

内容：主要考察初中和高中前两年的数学知识，包括代数、几何、数论和组合等。

难度：相对较低，适合数学基础较好的9-10年级学生。

AMC12：

内容：涵盖了整个高中数学课程，包括对数、复数、三角函数、正弦定理、余弦定理、四点共圆等高级内容。

难度：较高，适合数学基础扎实的11-12年级学生。

3.晋级AIME的要求

AMC10：

晋级比例：约前2.5%晋级AIME（近两年能到6%左右）。

分数线：通常在100分左右，但具体分数会根据当年的题目难度和参赛者的整体表现有所浮动。

AMC12：

晋级比例：约前5%晋级AIME（近两年能到10%以上）。

分数线：通常在80-90分左右，具体分数也会根据当年的题目难度和参赛者的整体表现有所浮动。

4.晋级AIME的难度

AMC10：

正确题数：由于题目难度较低，晋级AIME所需的正确题数较多，通常需要答对19-21题。

AMC12：

正确题数：由于题目难度较高，晋级AIME所需的正确题数较少，通常需要答对13-15题。

高中生AMC10和AMC12怎么选？

1.根据学生所处年级来看

9-10年级学生：

数学基础较好：建议先从AMC10开始，逐步提升自己的数学能力和解题技巧。如果已经掌握了较高的数学知识，可以直接选择AMC12。

数学基础一般：可以从AMC10开始，逐步提升，为未来的AMC12做准备。

11-12年级学生：

建议选择AMC12：因为AMC12的含金量更高，更能展示学生的数学能力。如果对某些高级知识点不太熟悉，可以有针对性地进行补充学习。

2.内容覆盖范围

AMC10：主要涉及初中及高中前两年的数学知识，难度适中。

AMC12：包含更广泛的高中数学内容，难度更高，适合已具备扎实数学基础的学生。

3.未来规划与发展方向

- 如果目标是参加更高级别的竞赛（如AIME、USAMO等），通常需要通过AMC12。

- 如果主要是为了锻炼数学思维或作为课外兴趣，AMC10也是一个不错的选择。

扫码【免费领取】AMC10/12历年真题+高频词汇+必备公式！

AMC8开考已不足90天！2025 AMC8竞赛超详细提分攻略请查收！

了解AMC8的考试结构和题型是备考的第一步。AMC8包含了多个不同领域的数学题目，例如数论、几何、代数和组合等。因此，考生需要在各个领域均衡发展，以确保在考试中能够游刃有余。

AMC8赛制安排

参赛对象：8年级或以下（年龄不超过14.5岁）

比赛语言：中英双语

比赛形式：线上机考测评

题型设置：25道单项选择题，满分25分

计分方式：总分25分，答错不倒扣分

AMC8备考提分攻略

1.审题要细心、注意识别关键词

在审题时，圈出题目中的关键词，如“最大”、“最小”、“整数”、“正数”等，这些词往往是解题的关键。如果题目中有不重要的信息或生词，可以暂时跳过，专注于核心问题。

2.确保前15题的正确率

前15题通常是基础题，确保这些题目的正确率是取得高分的关键。考前自测时，如果前15题不能达到满分，需要重点复习这些题目涉及的知识点。

通过大量练习，确保基础题的解题速度和准确率。

3.利用解题技巧“占便宜”

运用排除法、代入法、设定特殊值等技巧，可以帮助你迅速确定正确答案。

4. 学会适时放弃

时间管理：考试时间有限，如果某道题两分钟内无法解决，或者完全不知道如何下手，建议果断放弃，继续解答下一题。

策略性答题：合理分配时间，确保每道题都有足够的时间思考和解答。

5. 尝试使用多种方法解题

多角度思考：如果时间充裕，可以尝试用不同的方法解题，如特定值法、度量法、找规律、排除法等，这样可以提高解题的准确性。

验证答案：通过不同的方法验证答案，确保结果的正确性。

6. 合理分配时间

同学们的目标是获奖，而非满分。合理分配答题时间，完成20题后进行检查，评估得分，然后决定是继续挑战新题还是复查旧题。可以将25题分成几个部分，每完成一部分就进行检查，确保每部分的正确率。

7. 避免死记硬背

理解原理：对于AMC8的定理和公式，一定要理解其原理，而不是死记硬背。理解了原理，才能灵活运用。

应用实践：通过实际应用和练习，加深对定理和公式的理解。

2025年AMC8火热报名中，扫码获取报名表！

扫码免费领取AMC8近20年中英真题+备考教材+AMC8必备公式集+词汇表！

2024年AMC 12A 真题：

Problem 1

What is the value of $9901\cdot101-99\cdot10101?$

$\textbf{(A)}~2\qquad\textbf{(B)}~20\qquad\textbf{(C)}~200\qquad\textbf{(D)}~202\qquad\textbf{(E)}~2020$

Problem 2

A model used to estimate the time it will take to hike to the top of the mountain on a trail is of the form $T=aL+bG,$ where $a$ and $b$ are constants, $T$ is the time in minutes, $L$ is the length of the trail in miles, and $G$ is the altitude gain in feet. The model estimates that it will take $69$ minutes to hike to the top if a trail is $1.5$ miles long and ascends $800$ feet, as well as if a trail is $1.2$ miles long and ascends $1100$ feet. How many minutes does the model estimates it will take to hike to the top if the trail is $4.2$ miles long and ascends $4000$ feet?

$\textbf{(A) }240\qquad\textbf{(B) }246\qquad\textbf{(C) }252\qquad\textbf{(D) }258\qquad\textbf{(E) }264$

Problem 3

The number $2024$ is written as the sum of not necessarily distinct two-digit numbers. What is the least number of two-digit numbers needed to write this sum?

$\textbf{(A) }20\qquad\textbf{(B) }21\qquad\textbf{(C) }22\qquad\textbf{(D) }23\qquad\textbf{(E) }24$

Problem 4

What is the least value of $n$ such that $n!$ is a multiple of $2024$ ?

$\textbf{(A) }11 \qquad \textbf{(B) }21 \qquad \textbf{(C) }22 \qquad \textbf{(D) }23 \qquad \textbf{(E) }253 \qquad$

Problem 5

A data set containing $20$ numbers, some of which are $6$ , has mean $45$ . When all the 6s are removed, the data set has mean $66$ . How many 6s were in the original data set?

$\textbf{(A) }4\qquad\textbf{(B) }5\qquad\textbf{(C) }6\qquad\textbf{(D) }7\qquad\textbf{(E) }8$

Problem 6

The product of three integers is $60$ . What is the least possible positive sum of the three integers?

$\textbf{(A) } 2 \qquad \textbf{(B) } 3 \qquad \textbf{(C) } 5 \qquad \textbf{(D) } 6 \qquad \textbf{(E) } 13$

Problem 7

In $\Delta ABC$ , $\angle ABC = 90^\circ$ and $BA = BC = \sqrt{2}$ . Points $P_1, P_2, \dots, P_{2024}$ lie on hypotenuse $\overline{AC}$ so that $AP_1= P_1P_2 = P_2P_3 = \dots = P_{2023}P_{2024} = P_{2024}C$ . What is the length of the vector sum $\overrightarrow{BP_1} + \overrightarrow{BP_2} + \overrightarrow{BP_3} + \dots + \overrightarrow{BP_{2024}}?$ $\textbf{(A) }1011 \qquad \textbf{(B) }1012 \qquad \textbf{(C) }2023 \qquad \textbf{(D) }2024 \qquad \textbf{(E) }2025 \qquad$

Problem 8

How many angles $\theta$ with $0\le\theta\le2\pi$ satisfy $\log(\sin(3\theta))+\log(\cos(2\theta))=0$ ?

$\textbf{(A) }0 \qquad \textbf{(B) }1 \qquad \textbf{(C) }2 \qquad \textbf{(D) }3 \qquad \textbf{(E) }4 \qquad$

Problem 9

Let $M$ be the greatest integer such that both $M + 1213$ and $M + 3773$ are perfect squares. What is the units digit of $M$ ?

$\textbf{(A) }1 \qquad \textbf{(B) }2 \qquad \textbf{(C) }3 \qquad \textbf{(D) }6 \qquad \textbf{(E) }8 \qquad$

Problem 10

Let $\alpha$ be the radian measure of the smallest angle in a $3{-}4{-}5$ right triangle. Let $\beta$ be the radian measure of the smallest angle in a $7{-}24{-}25$ right triangle. In terms of $\alpha$ , what is $\beta$ ?

$\textbf{(A) }\frac{\alpha}{3}\qquad \textbf{(B) }\alpha - \frac{\pi}{8}\qquad \textbf{(C) }\frac{\pi}{2} - 2\alpha \qquad \textbf{(D) }\frac{\alpha}{2}\qquad \textbf{(E) }\pi - 4\alpha\qquad$

以上仅展示2023年AMC 12A部分真题，完整版扫描文末二维码即可免费领取，还有更多历年真题+视频解析~

还有完整版中英双语真题试卷+全英版pdf真题供您选择，扫码即可免费领取完整版：

扫码添加顾问老师免费领取

2023年AMC12 A卷最新真题+答案+导师视频解析

2024年AMC 10A 真题及答案

2024年AMC 10A 真题：

Problem 1

What is the value of $9901\cdot101-99\cdot10101?$

$\textbf{(A)}~2\qquad\textbf{(B)}~20\qquad\textbf{(C)}~200\qquad\textbf{(D)}~202\qquad\textbf{(E)}~2020$

Problem 2

$\textbf{(A) }240\qquad\textbf{(B) }246\qquad\textbf{(C) }252\qquad\textbf{(D) }258\qquad\textbf{(E) }264$

Problem 3

What is the sum of the digits of the smallest prime that can be written as a sum of $5$ distinct primes?

$\textbf{(A) }5\qquad\textbf{(B) }7\qquad\textbf{(C) }8\qquad\textbf{(D) }10\qquad\textbf{(E) }13$

Problem 4

The number $2024$ is written as the sum of not necessarily distinct two-digit numbers. What is the least number of two-digit numbers needed to write this sum?

$\textbf{(A) }20\qquad\textbf{(B) }21\qquad\textbf{(C) }22\qquad\textbf{(D) }23\qquad\textbf{(E) }24$

Problem 5

What is the least value of $n$ such that $n!$ is a multiple of $2024$ ?

$\textbf{(A) } 11\qquad\textbf{(B) } 21\qquad\textbf{(C) } 22\qquad\textbf{(D) } 23\qquad\textbf{(E) } 253$

Problem 6

What is the minimum number of successive swaps of adjacent letters in the string $ABCDEF$ that are needed to change the string to $FEDCBA?$ (For example, $3$ swaps are required to change $ABC$ to $CBA;$ one such sequence of swaps is $ABC\to BAC\to BCA\to CBA.$ )

$\textbf{(A)}~6\qquad\textbf{(B)}~10\qquad\textbf{(C)}~12\qquad\textbf{(D)}~15\qquad\textbf{(E)}~24$

Problem 7

The product of three integers is $60$ . What is the least possible positive sum of the three integers?

$\textbf{(A) }2\qquad\textbf{(B) }3\qquad\textbf{(C) }5\qquad\textbf{(D) }6\qquad\textbf{(E) }13$

Problem 8

Amy, Bomani, Charlie, and Daria work in a chocolate factory. On Monday Amy, Bomani, and Charlie started working at $1:00 PM$ and were able to pack $4$ , $3$ , and $3$ packages, respectively, every $3$ minutes. At some later time, Daria joined the group, and Daria was able to pack $5$ packages every $4$ minutes. Together, they finished packing $450$ packages at exactly $2:45 PM$ . At what time did Daria join the group?

$\textbf{(A) }1:25\text{ PM}\qquad\textbf{(B) }1:35\text{ PM}\qquad\textbf{(C) }1:45\text{ PM}\qquad\textbf{(D) }1:55\text{ PM}\qquad\textbf{(E) }2:05\text{ PM}$

Problem 9

In how many ways can $6$ juniors and $6$ seniors form $3$ disjoint teams of $4$ people so that each team has $2$ juniors and $2$ seniors?

$\textbf{(A) }720\qquad\textbf{(B) }1350\qquad\textbf{(C) }2700\qquad\textbf{(D) }3280\qquad\textbf{(E) }8100$

Problem 10

Consider the following operation. Given a positive integer $n$ , if $n$ is a multiple of $3$ , then you replace $n$ by $\frac{n}{3}$ . If $n$ is not a multiple of $3$ , then you replace $n$ by $n+10$ . For example, beginning with $n=4$ , this procedure gives $4\to14\to24\to8\to18\to6\to2\to12\to\cdots$ . Suppose you start with $n=100$ . What value results if you perform this operation exactly $100$ times?